问题发现学习三角形全等的知识时小明发现重合两个等腰直角三角形的顶点会产生一对新的全等三角形如图中点在边上连接以为边作使请连接图中标有字母的点补全图形直接写出一对全等三角形和的度数问题探究小明想如果将图中的等腰直角三角形换成等边三角形那么这组全等三角形是否还存在如图和是等边三角形点在同一直线证明探索线段

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196459. （2024•爱知中学•七下期末）问题发现：学习三角形全等的知识时，小明发现重合两个等腰直角三角形的顶点会产生一对新的全等三角形．
如图1，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在边BC上，连接AD，以AD为边作△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE，请连接图中标有字母的点，补全图形，直接写出一对全等三角形和∠BCE的度数．
问题探究：小明想，如果将图中的等腰直角三角形换成等边三角形，那么这组全等三角形是否还存在？
如图2，△ABC和△ADE是等边三角形，点B，D，E在同一直线．
（1）证明：△ABD≌△ACE．
（2）探索线段BE，AE，CE三者间的数量关系，写出结论并说明理由．
问题拓展：经过上面的探究，小明联想到几天前一道不会的题，请你帮小明再想一想，是否有新的发现．
如图3，边长为a的等边△ABC中，D是AC中点，BD=b,E是线段BD上一动点，连接AE，在AE右侧作等边△AEF，连接FD，求△AFD周长的最小值（用含a,b的代数式表示），并直接写出取最小值时∠AFD的度数．
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[考点]

三角形综合题，

[答案]

问题发现：△ABD≌△ACE，∠BCE＝90°；

问题探究：（1）见解析过程；

（2）BE＝CE+AE，理由如下：

问题拓展：

a+b．

[解析]

问题发现：解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ACE＝∠ABC＝45°，
∴∠BCE＝90°；
问题探究：（1）证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE＝DE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：BE＝CE+AE，理由如下：
∵△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，
∴BE＝BD+DE＝CE+AE；
问题拓展：解：如图，∵△ABC，△AEF都是等边三角形，
∴AB＝AC＝a，AF＝AE，∠BAC＝∠FAE＝∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴∠ABD＝∠ACF，
∵点D是AC的中点，
∵AD＝CD＝

a，BD＝b，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACF＝30°，BD⊥AC，
∴点F在线段CF上运动（∠ACF＝30°），
作点A关于直线CF的对称点M，
∴AF＝MF，
∴△AFD的周长＝AD+AF+DF＝

a+AF+MF，
∴点D，点F，点M三点共线时，△AFD周长有最小值，
连接DM交CF于F′，

∵CA＝CM，∠ACM＝60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AM＝AC，
∵BD⊥AC，
∴DM＝BD＝b，
∴△AFD的周长＝AD+AF+DF＝

a+DM＝

a+b．

[点评]

本题考查了"三角形综合题，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

199093. （2022•曲江一中•八下期中）（1）如图1，等边△ABC内有一点P，若AP=8，BP=15，CP=17，求∠APB的大小；（提示：将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处）．
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（2）如图2，已知在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC、F为BC上的点，且∠EAF=45°；求证：EF²=BE²+FC²．
（3）如图3，点A，B，C分别为三处村庄，在点O处有一个加油站：已知∠C=90°，∠ABC=30°，经测量，∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，AC=4km,求加油站到三个村庄距离之和（即OA+OB+OC的值）．

共享时间:2022-05-18 难度:1 相似度:2

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196259. （2024•高新一中•七下期末）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=6，AC=10，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．根据SAS可以判定△ADC≌△EDB，得出AC=BE．这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围是．
【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的一点，AE是△ABD的中线，CD=AB，∠BDA=∠BAD，试说明：AC=2AE；
【问题拓展】（3）如图3，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE=AB，AF=AC，判断线段EF与AD的关系，并说明理由．
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共享时间:2024-07-09 难度:1 相似度:2

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185621. （2024•铁一中学•七下期中）综合与实践：七年级某数学活动小组在探究三角形时，提出了如下数学问题：
（1）【问题情境】如图（1），平面内有三个点A，B，C，AB=8，AC=6，则BC长度的最大值为；
（2）【深入探究】如图（2）所示，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，其中∠ACB=∠ECD=90°，试探究BE与AD的数量关系，并说明理由；
（3）【延伸拓展】如图（3）所示，△ABC是边长为4的等边三角形，D为BC的中点，E为平面内一点且DE=1，连接CE，以CE为边向外作等边△CEF，连接AF，请写出AF的最大值，并说明理由．
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共享时间:2024-05-10 难度:1 相似度:2

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185648. （2024•铁一中学•八下期中）（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=4，AB=3．则当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值是．
（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=4，AB=3，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边△ABD和等边△ACE，连接CD、BE，求出线段BE长的最大值并说明理由．
（3）拓展：如图3，在点A的正东方向3000米处有一物资补给站B，某园林部门要规划一片牡丹种植园△BCD，要求CB=CD，∠BCD=90°，且AC=1000米．为了在点A有最佳的观赏效果，要求线段AD最长，试求线段AD长的最大值及此时点C到直线AB的距离．
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共享时间:2024-05-29 难度:1 相似度:2

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185674. （2024•滨河中学•八下期中）【发现问题】
如图1，点P在等边三角形ABC内，且∠APC＝150°，PA＝3，PC＝4，求PB的长．小明发现，以AP为边作等边三角形APD，连接BD，得到△ABD；由等边三角形的性质，可证△ACP≌△ABD，得PC＝BD；由已知∠APC＝150°，可知∠PDB的大小，进而可求得PB的长．
（1）请回答：在图1中，∠PDB＝　　，PB＝　　．
【问题解决】
（2）参考小明思考问题的方法，解决下面问题：
如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在△ABC内，且PA＝1，

，PC＝

，求∠APC和AC的长．
【灵活运用】
（3）如图3，某公园中有一块四边形空地ABCD，连接AC，BD．已知AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝6

米，DC＝9米，公园规划部计划在四边形ABCD内种植郁金香以供游客观赏，并将AC修建成观赏栈道，为保证观赏效果，要使AC的长度尽可能大（AC的宽度不计），求此时种植郁金香的面积．

共享时间:2024-05-12 难度:1 相似度:2

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190324. （2025•高陵区•八上期末）定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三角形”．例如：三个内角分别为100°，60°，20°的三角形是“优美三角形”．
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【概念理解】
（1）如图1，∠MON=60°，点A在边OM上，过点A作AB⊥OM，交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与点O，B重合）．
①△AOB “优美三角形”（填“是”或“不是”）．
②若∠ACB=80°，求证：△AOC是“优美三角形”．
【应用拓展】
（2）如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，∠BDC＞90°，作∠ADC的平分线，交AC于点E，在DC上取一点F，使∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B．若△BCD是“优美三角形”，求∠B的度数．

共享时间:2025-02-07 难度:1 相似度:2

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190325. （2025•高陵区•八上期末）问题提出
（1）如图1，点A，B分别在直线l的两侧，且到直线l的距离AM=1，BN=2，P是直线l上的一点．若MN=4，则PA+PB的最小值为．
问题探究
（2）如图2，点A，B分别在直线l的同一侧，点A，B到直线l的距离AM=1，BN=2，P是直线l上的一点．若MN=4，求PA+PB的最小值．
问题解决
（3）某市进行“老旧小区天然气改造”项目，让老旧小区的居民不再需要搬煤气罐上楼，增强本市老旧小区居民的幸福感与安全感．如图3，OM是原有天然气管道，ON是一条与OM垂直的街道，A，B是位于OM，ON内部的两个老旧小区，且小区A与OM的距离为2km,与ON的距离为6.5km,小区B与OM的距离为5km,与ON的距离为2.5km.现计划从OM处选一点P，铺设燃气管道PA，AB，PB．若1km的天然气管道铺设的价格为5万元，请计算所铺设的燃气管道的最低价格．（结果保留根号）
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共享时间:2025-02-07 难度:1 相似度:2

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191793. （2024•远东二中•八下一月） $德优题库$ 如图所示，在等边△ABC中，AB=BC=AC=6cm,点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为2cm/s,连接PQ，AQ．设运动时间为t秒（0＜t＜3），请回答：
（1）当AQ平分∠BAC时，求t的值；
（2）当t为何值时，点P在线段BQ的垂直平分线上？
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使△PBQ为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2024-04-29 难度:1 相似度:2

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192395. （2024•西工大附中•八下二月）问题探究
（1）如图①，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，

，CD＝4，E为AD中点，连接BE，求BE的最大值；
问题解决
（2）如图②，某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花园ABCD，其中BC＝40米，AD＝CD，AD⊥CD，AB∥CD，由于受地理位置的影响，∠ABC＜90°．根据要求，现计划给该花园修建条笔直的绿色长廊，且绿色长廊的入口O定为BC的中点，出口定为点D，为了尽可能地提高观赏体验，要求绿色长廊OD最长，试求绿色长廊OD最长为多少米？

共享时间:2024-06-23 难度:1 相似度:2

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192418. （2023•西工大附中•八上一月）问题背景
如图①，在四边形ADBC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，探究线段AC、BC、CD之间的数量关系．
小明同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D逆时针旋转90°到△AED处，点B、C分别落在点A、E处（如图②），易证点C、A、E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以

，从而得出结论：

．
小花同学探究问题的思路是：过D作DE⊥DC，且DE＝DC．连接AE，证△BDC≌△ADE，易证C、A、E三点共线，

，从而得出结论：

．
问题提出
（1）在图①中，若AC＝2，BC＝4，则CD＝　　；
问题探究
（2）如图③，在等边△ABC中，点D，E在边BC上，且BD＝CE＝6，连接AD，AE，若∠DAE＝30°，求△ABC的边长．（提示：直角三角形30°角所对直角边等于斜边的一半）
问题解决：
（3）如图④，在等腰Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC＝4

，AD⊥BC，点E，F在边BC上，且满足EF²＝BE²+FC²，在射线AE上取一点P使得AP＝AF，求DP最小值．

共享时间:2023-10-22 难度:1 相似度:2

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195904. （2025•曲江一中•八上期末）如图，△ABC是边长为12cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，点P沿射线AB运动，点Q沿折线BC-CA运动，且它们的速度都为1cm/s.当点Q到达点A时，点P随之停止运动．连接PQ，PC，设点P的运动时间为t（s）．
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（1）当点Q在线段BC上运动时，BQ的长为（cm），BP的长为（cm）（用含t的式子表示）．
（2）当PQ与△ABC的一条边垂直时，求t的值．
（3）当点Q从点C运动到点A的过程中，连接PQ，直接写出PQ中点O经过的路径长．

共享时间:2025-02-23 难度:1 相似度:2

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196134. （2024•师大附中•七下期末）【问题背景】
如图1，在等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上任意一点，连接AD、BE，AD与BE相交于点O，且BD=CE．
请直接写出线段AD与BE之间的数量关系：       ；∠AOE=       ．
【推广探究】
如图2，在等边△ABC中，P、M分别为边AB、AC上的点，且AM=BP，过点P作PQ∥BE交AC于点Q，过点M作MN∥AD交BC于点N，PQ与MN交于点F．
（1）∠MFQ=       ；
（2）求证：PQ=MN．
【深入探究】
如图3，在“推广探究”的条件下，令四边形APFM的周长为C₁，四边形CNFQ的周长为C₂，MF=a,FQ=b,FN=c,则C₁-C₂=       （请用含有a、b的代数式表示）．
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196185. （2024•师大附中•九上期末）（1）问题探究：
如图1，在△ABC中，BC=4，∠BAC=45°，则△ABC的外接圆半径为．
（2）问题解决：
如图2，△ABC为一个快递转运中心，∠ABC=90°，AB=BC=30，半径为5的半圆⊙E在△ABC的内部或边上，其圆心E在边BC上．现需在△ABC内建造一个快递堆放平台点P，使∠APC=135°，在半圆⊙E上建造一个快递堆放平台点F，在边AB上建一个快递结算中心Q，为节省转运时间，请求出PQ+FQ的最小值，及取最小值时点P到BC的距离．
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共享时间:2024-02-02 难度:1 相似度:2

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196335. （2024•高新一中•七下期末）（1）【特例感知】如图1，∠BAD=90°，AB=AD，BC⊥AC于点C，DE⊥AC于点E．A、C、E三点在同一直线上，BC=3，ED=4，则CE= ．
（2）【问题探究】如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E是BC边上两点，连接AD，以AD为腰作等腰直角△ADF，∠ADF=90°，作FE⊥BC于点E，FE=CE，若BD=2，CE=5，求△CDF的面积．
（3）【拓展应用】如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=13，点G在BC边上，满足∠GAC=3∠BAG，点H在线段AC上，AH=4，点E是直线AC上的一个动点，连接GE，过点G作GF⊥GE，且GE=GF．当点P是线段AG上的一个动点时，连接PH、PF，是否存在PH+PF的最小值？如果存在，请求出PH+PF的最小值；如果不存在，请说明理由．
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185527. （2024•高新一中•七下期中）（1）模型的发现：
如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，且B、C两点在直线l的同侧，BD⊥直线l,CE⊥直线l,垂足分别为点D，E．请直接写出DE，BD和CE的关系．
（2）模型的迁移1：位置的改变
如图2，在（1）的条件下，若B，C两点在直线l的异侧，（1）的结论还成立吗？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明DE，BD和CE的关系，并证明．
（3）模型的迁移2：角度的改变
如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角，即∠BAC=∠1=∠2=α，其中90°＜α＜180°，（1）的结论还成立吗？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明DE，BD和CE的关系，并证明． $德优题库$

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dyczsxyn

2024-07-21

初中数学 | 七年级下 | 解答题

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2023-2024学年陕西省西安市新城区爱知中学七年级（下）期末数学试卷

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