通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式如图是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形长宽分别为和的两个长方形利用这个图形可以验证公式这种验证思路体现了下列哪一个数学思想数形结合分类讨论类比推理转化利用上述公式解决问题根据上面得到的公式若则如图在线段上取一点分别以为边作正方形连接若阴影部分的面积和为

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185180. （2025•高新三中•七下期中）通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．
$德优题库$
（1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式，这种验证思路体现了下列哪一个数学思想．
A．数形结合
B．分类讨论
C．类比推理
D．转化
利用上述公式解决问题：
（2）根据上面得到的公式，若xy=2，x+y=5，则x²+y²= ．
（3）如图，在线段CE上取一点D，分别以CD、DE为边作正方形ABCD、DEFG，连接BG、CG、EG．若阴影部分的面积和为11，△CDG的面积为7，求CE的长度．

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[考点]

完全平方公式的几何背景，

[校正]

[答案]

（1）（a+b）²＝a²+2ab+b²，A；

（2）21；

（3）8．

[解析]

解：（1）如图①大大正方形的边长为a+b，因此面积为（a+b）²，拼成大正方形的四个部分的面积和为a²+2ab+b²，
所以有（a+b）²＝a²+2ab+b²，
故答案为：（a+b）²＝a²+2ab+b²，A；
（2）∵xy＝2，x+y＝5，
∴x²+y²＝（x+y）²﹣2xy＝25﹣4＝21，
故答案为：21；
（3）设正方形ABCD的边长为a，正方形DEFG的边长为b，
∵阴影部分的面积和为11，△CDG的面积为7，
∴

a（a﹣b）+

b²＝11，

ab＝7，
即a²﹣ab+b²＝22，ab＝14，
∴（a+b）²﹣3ab＝22，
即（a+b）²＝64，
∴a+b＝8（取正值），
即CE＝a+b＝8．

[点评]

本题考查了"完全平方公式的几何背景，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。

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考点说明

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

180933. （2024•高新二中•七下一月）如图①是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图②）．
（1）根据上述过程，写出（a+b）²、（a-b）²、ab之间的等量关系：       ；
（2）利用（1）中的结论，若x+y=4，xy=1，则（x-y）²的值是        ；
（3）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图③，请你写出这个等式：       ；
（4）两个正方形ABCD，AEFG如图④摆放，边长分别为x,y,若x²+y²=34，BE=2，求图中阴影部分面积和．
$德优题库$

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244793. （2023•莲湖区•七下期末） $德优题库$ 将四个长与宽分别为a,b的相同的小长方形拼成如图所示的图形，请你认真观察图形，写出你发现的等式（用含a,b的代数式表示），并说明理由．

共享时间:2023-07-22 难度:1 相似度:2

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198632. （2023•西工大附中•七下期中） $德优题库$ 我们知道，将完全平方公式（a±b）²=a²±2ab+b²适当的变形，可以解决很多数学问题，请你观察、思考，并解决以下问题：
（1）若m+n=9，mn=10，求m²+n²的值；
（2）如图，一农家乐准备在原有长方形用地（即长方形ABCD）上进行装修和扩建，先用长为120m的装饰性篱笆围起该长方形院子，再以AD、CD为边分别向外扩建正方形ADGH、正方形DCEF的空地，并在两块正方形空地上建造功能性花园，该功能性花园面积和为2000m²，求原有长方形用地ABCD的面积．

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198188. （2023•高新一中•七下期中）如图①是一个长为4b,宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四个完全相同的小长方形，然后用这四块小长方形拼成如图②所示的正方形．
（1）观察图②，直接写出（a+b）²，（a-b）²，ab三者的等量关系式；
（2）根据（1）的结论解答问题：如图③，正方形ABCD与AEFG边长分别为x、y.若xy=18，BE=3，求图③中阴影部分的面积和．
$德优题库$

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192604. （2024•翱翔中学•七下一月）（1）图中的①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形．请用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积．
方法1：　　．方法2：　　
（2）利用等量关系解决下面的问题：
①a﹣b＝5，ab＝﹣6，求（a+b）²和a²+b²的值；
②已知

，求

的值．

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185574. （2024•西工大附中•七下期中） $德优题库$ 小明在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．
例如：若a+b=5，ab=6，求a²+b²的值．
解：∵a+b=5，ab=6，
∴（a+b）²=25，2ab=12，
∴a²+b²+2ab=25．
∴a²+b²=13．
（1）若m-n=3，mn=54，求m²+n²的值．
（2）请同学们根据上面的解题思路与方法，结合几何图形解决下列问题：如图，C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和正方形BCFG，设AB=10，两个正方形的面积和为52，求△FCA的面积．

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185373. （2024•高新一中•七下期中） $德优题库$ 图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题．
（1）用两个长为a,宽为b的长方形，和两个边长分别为a和b的正方形，按图1的形状拼成一个大正方形．若a+b=5，ab=4，则a²+b²的值为；
（2）万物复苏的春天，美丽校园中浅浅的绿意渲染出浓浓的生气，学校计划在如图2的两块正方形草地间种些花，以淡淡的花香装点烈烈的校园书香，两块草地分别是以AC、BC为边的正方形，且面积和S₁+S₂=25，点C是线段AG上的点，若AG=7，求用来种花的部分的面积．

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185499. （2024•高新一中•七下期中） $德优题库$ “数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图1，是一个长为2m,宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法表示出图2中阴影部分的面积．
方法1：；方法2：；
（2）由（1）可得三个代数式（m+n）²，（m-n）²，mn之间的等量关系是；
（3）若图1中每块小长方形的周长为16，面积为5，求图2阴影部分的面积．

共享时间:2024-05-16 难度:1 相似度:2

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180125. （2024•长安区•七下二月） $德优题库$ 问题背景
如图，图1，图2分别是边长为（a+b），a的正方形，由图1易得（a+b）²=a²+2ab+b²．
类比探究
类比由图1易得公式（a+b）²=a²+2ab+b²的方法，依据图2中的已知条件推导出完全平方的另一个公式．
解决问题
（1）计算：（2m-n）²= ；
（2）运用完全平方公式计算：105²；
（3）已知（x+y）²=12，xy=2，求（x-y）²的值．

共享时间:2024-06-13 难度:1 相似度:2

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179806. （2025•交大附中•八下期中）如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm）
（1）观察图形，发现代数式2m²+5mn+2n²可以因式分解为　　；
（2）若每块小矩形的面积为12cm²，四个正方形的面积和为50cm²，试求图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和．

共享时间:2025-05-24 难度:1 相似度:2

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27694. （2024•高新一中•七上一月） $德优题库$ 图①是一个长为2m,宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀将其平均分成四个小长方形，然后按图②所示拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积．
方法一：       ；
方法二：       ．
（2）观察图②，写出代数式（m+n）²，（m-n）²，mn之间的等量关系：       ．
（3）利用（2）得到的等量关系，解决如下问题：若a-b=4，ab=5，求a+b的值．

共享时间:2023-12-16 难度:1 相似度:2

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196899. （2024•交大附中•七下期末）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
（1）观察图②，请你写出（a+b）²、（a﹣b）²、ab之间的等量关系是　　；
（2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若x+y＝5，xy＝3，求（x﹣y）²的值；
类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．
（3）根据图③，写出一个代数恒等式：　　；
（4）已知

，

，利用上面的规律求

的值．

共享时间:2024-07-09 难度:2 相似度:1.5

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246392. （2023•铁一中学•七下期末）数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一，在研究代数问题时，我们常常可以通过构造几何图形，用面积直观地推导公式．
$德优题库$
（1）观察如图，通过如图中阴影部分面积的表示可以得到我们熟悉的数学公式．
（2）请你借助下面的正方形，画出能说明下列完全平方公式的图形，并在图上标注清楚相应的字母．（只画出图形，不写推理过程）
（3）有两个大小不同的正方形A和B，现将A，B并列放置后构造新的正方形得到图①，其阴影部分的面积为20：将B放在A的内部得到图②，其阴影部分（正方形）的面积为9，求正方形A、B的面积之差．

共享时间:2023-07-27 难度:2 相似度:1.5

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24151. （2021•高新一中•七下期中）我们知道，将完全平方公式（a±b）²=a²±2ab+b²适当的变形，可以解决很多数学问题．请你观察、思考，并解决以下问题：
（1）若x+y=8，xy=12，求x²+y²的值；
（2）如图，王叔叔打算用长为140m的篱笆围一个长方形院子（即长方形ABCD）．以AB、AD为边分别向外作正方形ABEF、正方形ADGH，并在两块正方形空地上种植不同品种的农作物，其种植面积和为2500m²，求长方形院子ABCD的面积．
$德优题库$

共享时间:2021-04-29 难度:4 相似度:1.5

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25658. （2024•漳州双语实验学校•七上期末）探究与实践
问题发现：
（1）用四个长为a、宽为b的长方形拼成如图①所示的正方形ABCD，由此可以得到（a+b）²、（a-b）²、ab的等量关系是；
问题探究：
（2）如图②，将边长为a的正方形APCD和边长为b正方形BPEF拼在一起，使得A、P、B共线，点E落在PC上，连接AE，若AB=8，△APE的面积为7.5，求CE的长度；
问题解决：
（3）如图③，某小区物业准备在小区内规划设计一块休闲娱乐区，其中BE、CF为两条互相垂直的道路，且BG=CG，EG=FG，四边形ABGF与四边形CDEG为长方形，现计划在两个三角形区域种植花草，两个长方形区域铺设塑胶地面，按规划要求，道路BE的长度为80米，若种植花草每平方米需要100元，铺设塑胶地面每平方米需要30元，若物业为本次修建休闲娱乐区筹集了25万元，请你通过计算说明该物业筹集的资金是否够用？（道路的宽度均不计）
$德优题库$

共享时间:2024-01-28 难度:3 相似度:1.5

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2025-05-11

初中数学 | 七年级下 | 解答题

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2024-2025学年陕西省西安市高新三中七年级（下）期中数学试卷

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