如图在正方形中是上一点是延长线上一点且求证如图在正方形中是上一点是上一点如果请你利用的结论证明运用解答中所积累的经验和知识完成下题如图在直角梯形中是上一点且求直角梯形的面积

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175407. （2024•七十中•九上一月）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．求证：CE=CF；
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请你利用（1）的结论证明：GE=BE+GD．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积．
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[考点]

全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，直角梯形，

[答案]

见试题解答内容

[解析]

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠B＝∠CDF＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠FDC＝90°．
∴∠B＝∠FDC，
∵BE＝DF，
∴△CBE≌△CDF（SAS）．
∴CE＝CF．

（2）证明：如图2，延长AD至F，使DF＝BE，连接CF．
由（1）知△CBE≌△CDF，
∴∠BCE＝∠DCF．
∴∠BCE+∠ECD＝∠DCF+∠ECD，
即∠ECF＝∠BCD＝90°，
又∠GCE＝45°，
∴∠GCF＝∠GCE＝45°．
∵CE＝CF，GC＝GC，
∴△ECG≌△FCG．
∴GE＝GF，
∴GE＝GF＝DF+GD＝BE+GD．

（3）解：如图3，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G．
在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠A＝∠B＝90°，
又∵∠CGA＝90°，AB＝BC，
∴四边形ABCG为正方形．
∴AG＝BC，
∵∠DCE＝45°，
根据（1）（2）可知，ED＝BE+DG，
∴10＝4+DG，
即DG＝6．
设AB＝x，则AE＝x﹣4，AD＝x﹣6，
在Rt△AED中，
∵DE²＝AD²+AE²，即10²＝（x﹣6）²+（x﹣4）²．
解这个方程，得：x＝12或x＝﹣2（舍去），
∴AB＝12．
∴S_梯形ABCD＝

（AD+BC）•AB＝

×（6+12）×12＝108．
即梯形ABCD的面积为108．

[点评]

本题考查了"全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，直角梯形，"，属于"综合题"，熟悉题型是解题的关键。

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（1）求证：AE=BF；
（2）若AB=4，CE=1，求AH的长．
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共享时间:2018-06-27 难度:4 相似度:1.5

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共享时间:2017-07-10 难度:4 相似度:1.5

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共享时间:2015-08-18 难度:3 相似度:1.25

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838. （2014•陕西省•真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AB上，使DB=BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，CB的延长线于点F．
求证：AB=BF．

共享时间:2014-09-18 难度:2 相似度:1.25

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求证：AF∥CE．

共享时间:2016-07-11 难度:3 相似度:0.75

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（2）若

，且OC＝4，求PA的长．

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