某校阅览室有一个拱门其截面为抛物线型如图所示线段表示水平路面现需在此抛物线型拱门左侧内壁上的点处安装一个装饰灯图中与抛物线围成的区域是灯的光照范围的度数可以调节以所在直线为轴以过点垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系已知此拱门的最高点与的距离是米点到的距离为米点与拱门最高点的水平距离也是米点均在此抛物线型拱门上求此抛物线的函数表达式根据设计要求点的横坐标为点的横坐标为的一边

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210577. （2025•师大附中•三模）某校阅览室有一个拱门，其截面为抛物线型，如图所示，线段MN表示水平路面．现需在此抛物线型拱门左侧内壁上的点A处安装一个装饰灯，图中∠BAC与抛物线围成的区域是灯的光照范围，∠BAC的度数可以调节．以MN所在直线为x轴，以过点A垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
已知此拱门的最高点与MN的距离是2米，点A到MN的距离为1米，点A与拱门最高点的水平距离也是1米，点B，C均在此抛物线型拱门上．
（1）求此抛物线的函数表达式．
（2）根据设计要求，点B的横坐标为m,点C的横坐标为2m（m＞0），∠BAC的一边需要与x轴平行．问，是否存在满足要求的点B和点C？若存在，请求出点B、C的坐标；若不存在，请说明理由．
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[考点]

二次函数综合应用，

[答案]

（1）y＝﹣x²+2x+1；

（2）存在满足要求的点B和点C；B（1，2），C（2，1）．

[解析]

解：（1）∵拱门的最高点与MN的距离是2米，点A到MN的距离为1米，点A与拱门最高点的水平距离也是1米，
∴顶点（1，2），A（0，1），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）²+2，把点A的坐标代入得：
1＝a（0﹣1）²+2，
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）²+2＝﹣x²+2x+1；
（2）存在满足要求的点B和点C；理由如下：
∵点B的横坐标为m，点C的横坐标为2m（m＞0），
∴B（m，﹣m²+2m+1），C（2m，﹣4m²+4m+1），
∵∠BAC的一边需要与x轴平行，分两种情况讨论：
当AC∥x轴时，得：﹣4m²+4m+1＝1，
解得m＝1或m＝0（不合题意，舍去），
∴B（1，2），C（2，1）；
当AB∥x轴时，得：﹣m²+2m+1＝1，
解得m＝2或m＝0（不合题意，舍去），
∴B（2，1），C（4，﹣7）；
∴C（4，﹣7）在MN下方，不合题意；
综上所述，B（1，2），C（2，1）．

[点评]

本题考查了""，属于"压轴题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

212007. （2025•铁一中学•六模）项目主题：某小区更换陈旧围栏，面向全体业主征集围栏设计方案．
项目实施：家住该小区的格格和走走积极合作参与，如图1是给出围栏设计方案的上面一部分：
①△ABC是等腰三角形，且AB=AC，AO⊥BC，垂足为O；
②围栏上部由两段形状相同的抛物线AB和AC组成，且抛物线AB和AC关于直线AO对称；
③CO=BO=2米，AO=1米；
④根据她们的设计方案，以BC所在直线为x轴，AO所在直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线AB的函数表达式为y=-x²+bx+c.
问题解决：
（1）求抛物线AC的函数表达式；
（2）小区业主委员会进行综合评审时，对格格和走走同学的创意设计给予充分肯定，并建议在抛物线和等腰三角形的腰之间加装如图2所示的三根安全杆，其中EF∥BC，GF⊥EF，DE⊥EF．若想加装三根安全杆的长度总和最长，需要多少米的原料？
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共享时间:2025-05-16 难度:5 相似度:2

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190593. （2025•交大附中•九上期末） $德优题库$ 已知抛物线L：y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，4）．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）若点P是直线 y=x+2 上第一象限内的一个动点，将抛物线L进行平移得到抛物线L′，点B的对应点为点Q，是否存在以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出抛物线的平移方式；若不存在，请说明理由．

共享时间:2025-02-14 难度:5 相似度:2

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197062. （2023•高新一中•九上期末）如图1，有一块外边缘呈抛物线型的废材料，小成同学想废旧利用，从中截取一个矩形ABCD，使矩形的顶点A、B落在材料的底边MN上，C，D落在外边缘的抛物线上，小成同学量得MN=6dm,抛物线顶点处到边MN的距离是9dm；于是，小成同学在图纸上，以MN的中点为坐标原点，MN所在直线为x轴，以1dm为1个单位建立平面直角坐标系，如图2所示．
（1）请你帮小成求出该抛物线的解析式；
（2）小成截下的矩形ABCD的周长能否等于20dm？若能，请求出矩形的边AB的长；若不能，请说明理由．
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共享时间:2023-02-26 难度:5 相似度:2

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196947. （2024•交大附中•九上期末） $德优题库$ 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，2），连接OA，将线段OA绕着点O逆时针旋转90°，点A的对应点为点B．
（1）求经过B，O，A三点的抛物线L的表达式；
（2）将抛物线L沿着x轴平移到抛物线L'，在抛物线L'上是否存在点D，使得以B，O，A，D为顶点的四边形为正方形，若存在，求平移的方式；若不存在，说明理由．

共享时间:2024-02-20 难度:5 相似度:2

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196658. （2024•西工大附中•九上期末） $德优题库$ 如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于M点．
（1）直接写出以下各点坐标：
A ，B ，C ，M ．
（2）若点P为x轴上方抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，使得以P、B、Q为顶点的三角形与△AOC相似，求点P的坐标．

共享时间:2024-02-18 难度:5 相似度:2

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196309. （2024•高新一中•九上期末）已知抛物线y=ax²+bx-4经过点A（-2，0），B（4，0），与y轴的交点为C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴m右侧，对称轴m与x轴交于点M，过点P作PN⊥x轴，垂足为N．若∠PMN=∠CAO，求出点P的坐标．

共享时间:2024-02-28 难度:5 相似度:2

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192276. （2023•曲江二中•九上二月）如图，一次函数

分别交y轴，x轴于A，B两点，抛物线y＝﹣x²+bx+c过A，B两点，点M为直线AB上一个动点，过点M作x轴垂线交抛物线于点N．
（1）求这个抛物线的解析式．
（2）当M在线段AB上时，求MN的最大值．
（3）若△AMN为等腰三角形，求点M的坐标．

共享时间:2023-12-17 难度:5 相似度:2

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191997. （2023•陆港中学•九上二月）如图，抛物线C₁：y＝﹣x²+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线C₁的表达式及顶点D的坐标；
（2）如图1，点P为直线BD上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标m．当m为何值时，△PBD的面积最大？并求出这个面积的最大值；
（3）在图2中，将抛物线C₁关于x轴对称，得到新的抛物线C₂：

，新的抛物线与y轴交于点E，点M是y轴上一点，点N是平面内一点，是否存在点M，N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2023-12-20 难度:5 相似度:2

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191917. （2023•西安市航天城第二中学•九上二月）如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象交x轴于A（-2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由；
（3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
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共享时间:2023-12-27 难度:5 相似度:2

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191891. （2023•经开二校•九上二月）直线y＝

与抛物线y＝（x﹣3）²﹣4m+3交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与抛物线的对称轴交于点C，抛物线的顶点为D（点D在点C的下方），设点B的横坐标为t
（1）求点C的坐标及线段CD的长（用含m的式子表示）；
（2）直接用含t的式子表示m与t之间的关系式（不需写出t的取值范围）；
（3）若CD＝CB．
①求点B的坐标；
②在抛物线的对称轴上找一点F，使BF+

CF的值最小，则满足条件的点F的坐标是　　．

共享时间:2023-12-12 难度:5 相似度:2

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190371. （2025•西工大附中•九上期末） $德优题库$ 如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（-1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．点M在线段OB上，ME∥y轴，交BC于点F，交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式．
（2）当△CEF与△BOC相似时，求点E的坐标．

共享时间:2025-02-06 难度:5 相似度:2

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197546. （2024•陆港中学•九上期中） $德优题库$ 如图，抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0）交y轴于点B，点P是抛物线对称轴上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点C作CM⊥x轴于点M，是否存在这样一点P，使得以P、A、M为顶点的三角形和△COM相似，若存在，求出点P坐标，若不存在，说明理由．

共享时间:2024-11-22 难度:5 相似度:2

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189765. （2025•长安区•九上期末）如图，已知抛物线y＝ax²+bx﹣3的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，点P是x轴上的动点，过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G．设点P的横坐标为m，若△FCG是以GF，GC为腰的等腰三角形时，求出m的值．

共享时间:2025-02-02 难度:5 相似度:2

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189714. （2025•师大附中•九上期末）某校劳动教育基地的蔬菜大棚横截面如图1所示，轮廓可近似看成抛物线的一部分．已知OA=12米，OA的垂直平分线与抛物线交于点P，与OA交于点H，点P是抛物线的顶点，且PH=9米．如图2，以OA所在直线为x轴，过点O且垂直OA的直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）为防止极端天气对蔬菜大棚造成破坏，学校对原有大棚进行了加固，安装了两根支架（即线段OB、AB），且∠OBA=90°．在PH上有个照明灯E，经过照明灯E的横梁CD与OA平行．若照明灯E到支架顶端B的距离与横梁CD之和恰为6米（即BE+CD=6），求横梁CD的长．
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181185. （2023•爱知中学•九上四月） $德优题库$ 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx-2的图象经过点（2，-2）和（-6，10），且与x轴相交于A、B两点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）已知点M、N是平面上的两个点，且M点在x轴的上方，若以A、B、M、N为顶点的四边形是正方形，请求出点M的坐标．

共享时间:2023-01-10 难度:5 相似度:2

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dyczsxyn

2025-04-11

初中数学 | | 解答题

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2025年陕西师大附中中考数学三模试卷

更新:2025-04-11 10:35浏览量:20

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