某新兴科技公司为了确定新研发的产品下一季度的营销计划需了解月宣传费单位万元对月销售量单位千件的影响收集了年月至年月共个月的月宣传费和月销售量的数据如表月份宣传费月销售量现分别用模型和模型对以上数据进行拟合得到回归模型并计算出模型的残差如表模型和模型的残差分别为和残差实际值预报值

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168803. （2021•西工大附中•十三模）某新兴科技公司为了确定新研发的产品下一季度的营销计划，需了解月宣传费x（单位：万元）对月销售量y（单位：千件）的影响，收集了2020年3月至2020年8月共6个月的月宣传费x和月销售量y的数据如表：

月份	3	4	5	6	7	8
宣传费x	5	6	7	8	9	10
月销售量y	0.4	3.5	5.2	7.0	8.6	10.7

现分别用模型①

和模型②

对以上数据进行拟合，得到回归模型，并计算出模型的残差如表：
（模型①和模型②的残差分别为

和

，残差＝实际值﹣预报值）

x	5	6	7	8	9	10
y	0.4	3.5	5.3	7.0	8.6	10.7
	﹣0.6	0.54	0.28	0.12	﹣0.24	﹣0.1
	﹣0.63	1.71	2.10	1.63	﹣0.7	﹣5.42

（1）根据上表的残差数据，应选择哪个模型来拟合月宣传费x与月销售量y的关系较为合适，简要说明理由；
（2）为了优化模型，将（1）中选择的模型残差绝对值最大所对应的一组数据（x，y）剔除，根据剩余的5组数据，求该模型的回归方程，并预测月宣传费为12万元时，该公司的月销售量．
（剔除数据前的参考数据：

＝7.5，

＝5.9，

，

，z＝lny．

≈﹣1.41，

，ln10.7≈2.37，e^4.034≈56.49．）
参考公式：

，

．

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相似

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[考点]

经验回归方程与经验回归直线，

[答案]

（1）应选择模型①．
（2）回归方程为

，
月宣传费为12万元时，该公司的月销售量为14.12千件．

[解析]

解：（1）应选择模型①，
因为模型①每组数据对应的残差绝对值都比模型②的小，
残差波动小，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明拟合精度高．
（2）由（1）知，需剔除第一组数据，
则剔除后的

＝

，

＝

，

．
∴

，

．
得①的回归方程为

，
则当x＝12时，

．
故月宣传费为12万元时，该公司的月销售量为14.12千件．

[点评]

本题考查了"经验回归方程与经验回归直线，"，属于"基础题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

167036. （2023•西安中学•高三上一月） 3月14日OpenAI公司宣布正式发布为ChatGPT提供支持的更强大的下一代人工智能技术GPT﹣4，科技产业的发展迎来新的格局，数据显示，它在各种专业和学术基准上与人类水平相当，优秀到令人难以置信，虽然给各行业带来了不同程度的挑战，但是也孕育了新的发展机遇．下表是某教育公司从2019年至2023年人工智能上的投入情况，其中x表示年份代码（2019年用1表示，2020年用2表示，以此类推），y表示投入资金（单位：百万元）．

x	1	2	3	4	5
y	3	7	8	10	12

（1）已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高）（运算结果保留两位小数）
（2）求y关于x的线性回归方程

，并预测该公司2024年的投入资金．
参考公式与数据：

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167060. （2023•西安中学•高三上一月）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为了估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面（单位：m²）和材积量（单位：m³），得到如下数据：

样本号i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	总和
根部横截面积x_i	0.04	0.06	0.04	0.08	0.08	0.05	0.05	0.07	0.07	0.06	0.6
材积量y_i	0.25	0.40	0.22	0.54	0.51	0.34	0.36	0.46	0.42	0.40	3.9

并计算得

，

．
（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量．
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数．（精确到0.01）
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到了所有这种树木的根部横截面积总和为186m²．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，利用以上数据估计该林区这种树木的总材积量．
附：相关系数

，

．

共享时间:2023-10-30 难度:1 相似度:2

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171261. （2024•师大附中•高二下期中）近年来，我国新能源汽车发展进入新阶段．某品牌2018年到2022年新能源汽车年销量w（万）如下表：其中年对应的年份代码t为1﹣5．

年份代码t	1	2	3	4	5
销量w（万）	4	9	14	18	25

（1）判断两个变量是否线性相关，并计算样本相关系数（精确到0.01）；
（2）（i）假设变量x与变量Y的n对观测数据为（x₁，y₁），（x₂，y₂），⋯，（x_n，y_n），两个变量满足一元线性回归模型

（随机误差e_i＝y_i﹣bx_i），请写出参数b的最小二乘估计；
（ii）令变量

，则变量x与变量Y满足一元线性回归模型

，利用（i）中结论求y关于x的经验回归方程，并预测2025年该品牌新能源汽车的销售量．
附：样本相关系数

，

．

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170874. （2025•师大附中•高二下期中）为解决农产品难卖、知名度不高等问题，某县凝聚电商直播群体及电商直播销售行业“新”力量助力乡村振兴．下表为某农户在7个月的直播中产生的农产品销售额：

时间代码x	1	2	3	4	5	6	7
销售额y （单位：千元）	0.84	1.37	2.76	4.43	5.49	7.66	8.94

对数据进行处理后，得到如下统计量的值：

	x_iy_i
4.5	165.2	140

参考公式：

，

．
（1）根据表格中的数据，求出y关于x的线性回归方程；
（2）规定当月销售额超过1.5万元时，能被评选为“优秀带货主播”，预测该农户在第几个月能被评选为“优秀带货主播”．

共享时间:2025-04-26 难度:1 相似度:2

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170640. （2021•长安区一中•高二上期末） 2020年8月11日新华社北京电，国家主席习近平对制止餐饮浪费行为作出重要指示．他指出，餐饮浪费现象，触目惊心、令人痛心！“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦．”尽管我国粮食生产连年丰收，对粮食安全还是始终要有危机意识，今年全球新冠肺炎疫情所带来的影响更是给我们敲响了警钟．粮食问题是关乎民生的大问题．某地近几年来粮食产量逐步上升，如表是部分统计数据：

年份	2015	2016	2017	2018	2019
年份代码x	1	2	3	4	5
需求量y/万吨	136	146	157	176	186

（1）利用所给数据求粮食年需求量y与年份代码x之间的回归直线方程

；
（2）预测2020年的粮食需求量．
参考公式：

＝

，

．

共享时间:2021-02-28 难度:1 相似度:2

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170464. （2022•西工大附中•高一下期末）改革开放以来，我国经济持续高速增长．如图给出了我国2010年至2019年第二产业增加值与第一产业增加值的差值（以下简称为：产业差值）的折线图，记产业差值为y（单位：万亿元）．
注：年份代码1﹣10分别对应年份2010﹣2019．

（1）求出y关于年份代码t的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，分析2010﹣2019年我国产业差值的变化情况，并预测我国产业差值在哪一年约为34万亿元；
（3）结合折线图，试求出除去2014年产业差值后剩余的9年产业差值的平均值及方差（结果精确到0.1）．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

，

．样本方差公式：

．参考数据：

，

．

共享时间:2022-07-08 难度:1 相似度:2

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170010. （2023•西工大附中•高三上期末）近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：
表1

x	1	2	3	4	5	6	7
y	6	11	21	34	66	101	196

根据以上数据，绘制了如图所示的散点图．

（1）根据散点图判断，在推广期内，y＝a+bx与y＝c•d^x（c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；
（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；
（3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如表2
表2

支付方式	现金	乘车卡	扫码
比例	10%	60%	30%

已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客，享受7折优惠的概率为

，享受8折优惠的概率为

，享受9折优惠的概率为

．根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，估计一名乘客一次乘车的平均费用．
参考数据：

				10^0.54
62.14	1.54	2535	50.12	3.47

其中υ_i＝lgy_i，

参考公式：对于一组数据（u₁，υ₁），（u₂，υ₂），…（u_n，υ_n），其回归直线

的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

，

．

共享时间:2023-02-15 难度:1 相似度:2

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169437. （2024•西安中学•高二下期末）下表是某单位在2023年1～5月份用水量（单位：百吨）的一组数据：

月份x	1	2	3	4	5
用水量y	2.5	3	4	4.5	5.2

（1）从这5个月中任取2个月的用水量，求所取2个月的用水量之和不超过7（单位：百吨）的概率；
（2）若由经验回归方程得到的预测数据与实际数据的误差不超过0.05，视为“预测可靠”，那么由该单位前4个月的数据所得到的经验回归方程预测5月份的用水量是否可靠？说明理由．
参考公式：对于一组数据（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n），其回归直线

的斜率和截距的
最小二乘估计公式分别为：

，

．

共享时间:2024-07-09 难度:1 相似度:2

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169415. （2024•西安中学•高三上期末）造林绿化对生态发展特别是在防风固沙、缓解温室效应、净化空气、涵养水源等方面有着重要意义．某苗木培养基地为了对某种树苗的高度偏差x（单位：cm）与树干最大直径偏差y（单位：mm）之间的关系进行分析，随机挑选了8株该品种的树苗，得到它们的偏差数据（偏差是指个别测定值与测定的平均值之差）如下：

树苗序号	1	2	3	4	5	6	7	8
高度偏差x	20	15	13	3	2	﹣5	﹣10	﹣18
直径偏差y	6.5	3.5	3.5	1.5	0.5	﹣0.5	﹣2.5	﹣3.5

（1）若x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；
（2）若这种树苗的平均高度为120cm，树干最大直径平均为31.5mm，试由（1）的结论预测高度为128cm的这种树苗的树干最大直径为多少毫米．
参考数据：

，

．
参考公式：回归直线方程

中斜率和截距的最小二乘估计：

，

．

共享时间:2024-02-27 难度:1 相似度:2

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169101. （2020•西工大附中•三模） 2020年初，武汉出现新型冠状病毒肺炎疫情，并快速席卷我国其他地区，口罩成了重要的防疫物资．某口罩生产厂不断加大投入，高速生产，现对其2月1日～2月9日连续9天的日生产量y_i（单位：十万只，i＝1，2，…，9）数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量的值：


2.72	19	139.09	1095

注：图中日期代码1～9分别对应2月1日～2月9日；表中

，

．
（1）从9个样本点中任意选取2个，在2个点的日生产量都不高于三十万只的条件下，求2个都高于二十万只的概率；
（2）由散点图分析，样本点都集中在曲线y＝ln（bt+a）的附近，请求y关于t的方程y＝ln（bt+a），并估计该厂从什么时候开始日生产量超过四十万只．
参考公式：回归直线方程是

＝

，

＝

，

＝

﹣

．
参考数据：e⁴≈54.6．

共享时间:2020-04-14 难度:1 相似度:2

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168480. （2021•西安中学•三模）某地区2021年清明节前后3天每天下雨的概率为50%，通过模拟实验的方法来计算该地区这3天中恰好有2天下雨的概率．用随机数x（x∈N，且0≤x≤9）表示是否下雨：当x∈[0，m]（m∈Z）时表示该地区下雨，当x∈[m+1，9]时，表示该地区不下雨，从随机数表中随机取得20组数如下：
332 714 740 945 593 468 491 272 073 445
992 772 951 431 169 332 435 027 898 719
（1）求出m的值，并根据上述数表求出该地区清明节前后3天中恰好有2天下雨的概率；
（2）从2012年到2020年该地区清明节当天降雨量（单位：mm）如表：（其中降雨量为0表示没有下雨）．

时间	2012年	2013年	2014年	2015年	2016年	2017年	2018年	2019年	2020年
年份t	1	2	3	4	5	6	7	8	9
降雨量y	29	28	26	27	25	23	24	22	21

经研究表明：从2012年至2021年，该地区清明节有降雨的年份的降雨量y与年份t成线性回归，求回归直线方程

，并计算如果该地区2021年（t＝10）清明节有降雨的话，降雨量为多少？（精确到0.01）
参考公式：

，

．
参考数据：

，

．

共享时间:2021-04-14 难度:1 相似度:2

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168320. （2021•西安中学•十模）有一种速度叫中国速度，有一种骄傲叫中国高铁．中国高铁经过十几年的发展，取得了举世瞩目的成就，使我国完成了从较落后向先进铁路国的跨越式转变．中国的高铁技术不但越来越成熟，而且还走向国外，帮助不少国家修建了高铁．高铁可以说是中国一张行走的名片．截至到2020年，中国高铁运营里程已经达到3.9万公里．如表是2013年至2020年中国高铁每年的运营里程统计表，它反映了中国高铁近几年的飞速发展：

年份	2013	2014	2015	2016	2017	2018	2019	2020
年份代码x	1	2	3	4	5	6	7	8
运营里程y（万公里）	1.3	1.6	1.9	2.2	2.5	2.9	3.5	3.9

根据以上数据，回答下面问题．
（Ⅰ）甲同学用曲线y＝bx+a来拟合，并算得相关系数r₁＝0.97，乙同学用曲线y＝ce^dx来拟合，并算得转化为线性回归方程所对应的相关系数r₂＝0.99，试问哪一个更适合作为y关于x的回归方程类型，并说明理由；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程（系数精确到0.01）．
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：

，

．
参考数据：

＝42.00，
令w＝lny，

＝1.15．

共享时间:2021-07-10 难度:1 相似度:2

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168251. （2021•西安中学•五模）为2020年全国实现全面脱贫，湖南贫困县保靖加大了特色农业建设，其中茶叶产业是重要组成部分，由于当地的地质环境非常适宜种植茶树，保靖的“黄金茶”享有“一两黄金一两茶”的美誉．保靖县某茶场的黄金茶场市开发机构为了进一步开拓市场，对黄金茶交易市场某个品种的黄金茶日销售情况进行调研，得到这种黄金茶的定价x（单位：百元/kg）和销售率y（销售率是销售量与供应量的比值）的统计数据如表：

x	10	20	30	40	50	60
y	0.9	0.65	0.45	0.3	0.2	0.175

（1）设z＝lnx，根据所给参考数据判断，回归模型

与

哪个更合适？并根据你的判断结果求回归方程（

，

的结果保留一位小数）；
（2）某茶场的黄金茶生产销售公司每天向茶叶交易市场提供该品种的黄金茶1200kg，根据（1）中的回归方程，估计定价x（单位：百元/kg）为多少时，这家公司该品种的黄金茶的日销售额W最大，并求W的最大值．
参考数据：y与x的相关系数r₁≈﹣0.96，y与z的相关系数r₂≈0.99，

，

，e³≈20.1，e^3.4≈30.0，e^3.5≈33.1，e⁴≈54.6．
参考公式：

，

．

共享时间:2021-05-01 难度:1 相似度:2

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167964. （2023•师大附中•十一模）某班级的数学学习兴趣组发现学生的数学成绩与物理成绩有一定的关系，为进一步研究考生物理成绩了与数学成绩之间的关系，在一次考试中从该班级51名考生中随机抽取11名考生的成绩，得到11组数据统计如下表：

数学成绩x（分）	46	65	79	89	99	109	116	123	134	140	0
物理成绩y（分）	50	54	60	63	66	68	70	73	76	80	75

其中有一位考生因数学缺考导致数据出现异常，剔除该组数据后发现，考生物理成绩y与数学成绩x之间具有线性相关关系．
（Ⅰ）请根据剔除后的10组有效数据建立y关于x的回归直线方程；
（Ⅱ）已知本次考试只有一位考生缺考（仅缺考数学科目），且全班数学成绩之和为4500分，根据（Ⅰ）所得结果，估计全班51名考生本次考试的物理平均成绩．（结果精确到0.1）
参考公式：

，

．
参考数据（剔除异常数据前）：

，

．

共享时间:2023-07-18 难度:1 相似度:2

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167942. （2023•师大附中•三模） 2015年7月31日，在吉隆坡举行的国际奥委会第128次全会上，北京获得2022年冬奥会举办权．在申冬奥过程中，中国正式向国际社会作出“带动三亿人参与冰雪运动”的庄严承诺．这一承诺，既是我国为国际奥林匹克运动做出重大贡献的大国担当展现，也是根据我国经济水平和全民健身需求做出的群众性运动的战略部署．从北京冬奥会申办成功到2021年10月，全国参与冰雪运动人数累计达到3.46亿，实现了“带动三亿人参与冰雪运动”的目标，这是北京冬奥会给予全球冬季体育运动和奥林匹克运动的最为重要的遗产，可以说是2022年北京冬奥会的第一块金牌．“冬奥热”带动“冰雪热”，也带动了冰雪经济，以冰雪运动为主要内容的冰雪旅游近年来发展迅速，2016至2022六个冰雪季的旅游人次y（单位亿）的数据如下表：

年度	2016﹣2017	2017﹣2018	2018﹣2019	2019﹣2020	2020﹣2021	2021﹣2022
年度代号t	1	2	3	4	5	6
旅游人次y	1.7	1.97	2.24	0.94	2.54	3.15

（1）求y与t的相关系数（精确到0.01），并回答y与t的线性相关关系的强弱；
（2）因受疫情影响，现将2019﹣2020年度的异常数据剔除，用剩下的5个年度数据（年度代号不变），求y关于t的线性回归方程（系数精确到0.01），并推测没有疫情情况下，2019﹣2020年度冰雪旅游人次的估计值．
附注：参考数据：