已知抛物线的焦点为点为坐标原点直线过定点其中与抛物线相交于两点点位于第一象限当时求证如图连接并延长交抛物线于两点设和的面积分别为和则是否为定值若是求出其值若不是请说明理由

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171939. （2022•长安区一中•高二上期中）已知抛物线C：y²＝4x的焦点为F，点O为坐标原点，直线l过定点T（t，0）（其中t＞0，t≠1）与抛物线C相交于A，B两点（点A位于第一象限）．
（1）当t＝4时，求证：OA⊥OB；
（2）如图，连接AF，BF并延长交抛物线C于两点A₁，B₁，设△ABF和△A₁B₁F的面积分别为S₁和S₂，则

是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由．

共享时间:2022-11-29 难度:5

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[考点]

抛物线，

[答案]

（1）证明见解答．（2）

为定值t²．

[解析]

（1）证明：设直线l方程为x＝my+4，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立直线l与抛物线C的方程，

消去x，得y²﹣4my﹣16＝0，
所以

，
即OA⊥OB．
（2）解：设直线l方程为x＝my+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立直线l与抛物线C的方程，

消去x，得y²﹣4my﹣4t＝0，
故y₁y₂＝﹣4t．
设A₁（x₃，y₃），B₁（x₄，y₄），A₁A的方程为x＝ny+1，
联立直线A₁A与抛物线C的方程

，
消去x得y²﹣4ny﹣4＝0，
从而y₁+y₃＝4n，y₁y₃＝﹣4，则

，
同理可得

，∴

＝

，
即

为定值．

[点评]

本题考查了""，属于"压轴题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

166758. （2024•建大附中•一模）已知抛物线Ω：y²＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0）．过F作两条互相垂直的直线l₁，l₂，且直线l₁与Ω交于M，N两点，直线l₂与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限．设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H．
（1）求Ω的方程．
（2）直线AB是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
（3）证明：点H在直线x＝﹣1上．

共享时间:2024-03-13 难度:5 相似度:2

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169788. （2023•师大附中•高二上期末）已知抛物线y²＝4x的焦点为F，直线l斜率为1，直线l与抛物线交于A、B两点，与x轴交于P点．
（1）若|AF|+|BF|＝8，求直线l方程；
（2）若

，求|AB|．

共享时间:2023-02-13 难度:5 相似度:2

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171963. （2022•长安区一中•高二上期中）已知抛物线C：y²＝4x的焦点为F，点O为坐标原点，直线l过定点T（t，0）（其中t＞0，t≠1）与抛物线C相交于A，B两点（点A位于第一象限）．
（1）当t＝4时，求证：OA⊥OB；
（2）如图，连接AF，BF并延长交抛物线C于两点A₁，B₁，设△ABF和△A₁B₁F的面积分别为S₁和S₂，则

是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由．

共享时间:2022-11-29 难度:5 相似度:2

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168574. （2021•西安中学•九模）已知抛物线y²＝4x，焦点为F．
（1）若圆心在抛物线y²＝4x上的动圆，大小随位置而变化，但总是与直线x+1＝0相切，求所有的圆都经过的定点坐标；
（2）若过F点的直线与抛物线相交于M，N两点，若

，求直线MN的斜率．

共享时间:2021-06-30 难度:5 相似度:1.5

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2022-11-29

高中数学 | 高二上 | 解答题

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2022-2023学年陕西省西安市长安一中高二（上）期中数学试卷（文科）

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