已知抛物线的焦点为过作两条互相垂直的直线且直线与交于两点直线与交于两点均在第一象限设分别为弦的中点直线与直线交于点求的方程直线是否过定点若是求出定点坐标若不是请说明理由证明点在直线上

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166758. （2024•建大附中•一模）已知抛物线Ω：y²＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0）．过F作两条互相垂直的直线l₁，l₂，且直线l₁与Ω交于M，N两点，直线l₂与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限．设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H．
（1）求Ω的方程．
（2）直线AB是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
（3）证明：点H在直线x＝﹣1上．

共享时间:2024-03-13 难度:5

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[考点]

抛物线，

[答案]

（1）y²＝4x；
（2）直线AB过定点（3，0），理由见解析；
（3）证明见解析．

[解析]

（1）解：抛物线Ω：y²＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），
则有

，
则p＝2，
所以抛物线Ω的方程为y²＝4x．
（2）解：直线l₁，l₂与抛物线各有两个交点，可知直线l₁，l₂斜率存在且不为0，
设直线l₁的斜率为k，
则直线l₁：y＝k（x﹣1），
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

，
消去x并整理得

，
此时

，
由韦达定理得

，y₁y₂＝﹣4，
由A为弦MN的中点，
有

，
则

，
由垂直的条件，可将k换为

，
设E（x₃，y₃），P（x₄，y₄），
同理得y₃+y₄＝﹣4k，y₃y₄＝﹣4，
有B（1+2k²，﹣2k），
当k＝1或k＝﹣1时，直线AB的方程为x＝3，
当k≠1且k≠﹣1时，直线AB的斜率为

，方程为

，
即（k²﹣1）y+（x﹣3）k＝0，
可知x＝3时y＝0，
所以直线AB过定点，其坐标为（3，0）．
（3）证明：

，
同理得

，
此时直线ME的方程为

，
即

，
同理，直线NP的方程为

，
由

，
消去y解得x＝﹣1，
故直线ME与直线NP的交点H在直线x＝﹣1上．

[点评]

本题考查了""，属于"压轴题"，熟悉题型是解题的关键。

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169788. （2023•师大附中•高二上期末）已知抛物线y²＝4x的焦点为F，直线l斜率为1，直线l与抛物线交于A、B两点，与x轴交于P点．
（1）若|AF|+|BF|＝8，求直线l方程；
（2）若

，求|AB|．

共享时间:2023-02-13 难度:5 相似度:2

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171939. （2022•长安区一中•高二上期中）已知抛物线C：y²＝4x的焦点为F，点O为坐标原点，直线l过定点T（t，0）（其中t＞0，t≠1）与抛物线C相交于A，B两点（点A位于第一象限）．
（1）当t＝4时，求证：OA⊥OB；
（2）如图，连接AF，BF并延长交抛物线C于两点A₁，B₁，设△ABF和△A₁B₁F的面积分别为S₁和S₂，则

是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由．

共享时间:2022-11-29 难度:5 相似度:2

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171963. （2022•长安区一中•高二上期中）已知抛物线C：y²＝4x的焦点为F，点O为坐标原点，直线l过定点T（t，0）（其中t＞0，t≠1）与抛物线C相交于A，B两点（点A位于第一象限）．
（1）当t＝4时，求证：OA⊥OB；
（2）如图，连接AF，BF并延长交抛物线C于两点A₁，B₁，设△ABF和△A₁B₁F的面积分别为S₁和S₂，则

是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由．

共享时间:2022-11-29 难度:5 相似度:2

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168574. （2021•西安中学•九模）已知抛物线y²＝4x，焦点为F．
（1）若圆心在抛物线y²＝4x上的动圆，大小随位置而变化，但总是与直线x+1＝0相切，求所有的圆都经过的定点坐标；
（2）若过F点的直线与抛物线相交于M，N两点，若

，求直线MN的斜率．

共享时间:2021-06-30 难度:5 相似度:1.5

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2024-03-13

高中数学 | | 解答题

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