函数满足且当时则函数与函数的图象的所有的交点的横坐标与纵坐标之和等于

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169493. （2024•铁一中学•高一上期末）函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且当x∈（0，1）∪（1，2）时，

，则函数f（x）与函数y＝2sinπx+1（0＜x＜4）的图象的所有的交点的横坐标与纵坐标之和等于（　　）

A.．12

B.16

C.20

D.．24

共享时间:2024-02-13 难度:1

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组卷

[考点]

函数与方程的综合运用，

[答案]

[解析]

解：由于f（x+2）＝f（x），所以函数f（x）为周期函数，且周期为2．
令

，则

，
对任意的x≠1，

，
所以函数

关于点（1，1）中心对称．
设g（x）＝2sinπx+1，则g（x）+g（2﹣x）＝2sinπx+1+2sin[π（2﹣x）]+1＝2sinπx+2sin（2π﹣πx）+2＝2，
所以，函数y＝2sinπx+1关于点（1，1）中心对称．
画出函数

与函数y＝2sinπx+1（0＜x＜2）的图象如图所示：

由图可知，函数

与函数y＝2sinπx+1（0＜x＜2）的图象有四个交点，
不妨设这四个交点分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₃，y₃）、（x₄，y₄），
设x₁＜x₂＜x₃＜x₄，由图可知，点（x₁，y₁）与点（x₄，y₄）关于点（1，1）对称，
点（x₂，y₂）与点（x₃，y₃）关于点（1，1）对称，
所以（x₁+x₂+x₃+x₄）+（y₁+y₂+y₃+y₄）＝8．
同理可知，函数f（x）与函数y＝2sinπx+1（2＜x＜4）的图象也有四个交点，
设这四个交点分别为（x₅，y₅）、（x₆，y₆）、（x₇，y₇）、（x₈，y₈），
同理可得（x₅+x₆+x₇+x₈）+（y₅+y₆+y₇+y₈）＝16，
所以，函数f（x）与函数y＝2sinπx+1（0＜x＜4）的图象的所有的交点的横坐标与纵坐标之和等于8+16＝24．
故选：D．

[点评]

本题考查了"函数与方程的综合运用，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。

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A.f（x）＝x²﹣x﹣3

C.．f（x）＝2^x+x