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166754. （2024•建大附中•一模）如图，已知F₁，F₂分别是双曲线

的左、右焦点，M，N分别为双曲线C的左支、右支上异于顶点的点，且MF₁∥NF₂．若|MF₁|：|MF₂|：|NF₂|＝5：7：3，则双曲线C的离心率为　．

共享时间:2024-03-13 难度:1

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[考点]

直线与双曲线的综合，

[答案]

．

[解析]

解：延长MF₁与双曲线C交于另一点H，连接HF₂，NF₁．

因为MF₁∥NF₂，所以根据对称性可得四边形F₁HF₂N是平行四边形，
则|HF₁|＝|NF₂|，|HF₂|＝|NF₁|．
设|MF₁|＝5m，则|MF₂|＝7m，|HF₁|＝|NF₂|＝3m．
根据双曲线的定义可得|MF₂|﹣|MF₁|＝7m﹣5m＝2m＝2a，则m＝a，
所以|MH|＝5m+3m＝8m＝8a，|HF₂|＝|NF₁|＝3m+2a＝5a，|MF₂|＝7m＝7a．
在△MHF₂中，根据余弦定理可得

，得

．
在△F₁F₂H中，由

，得19a²＝4c²，
则双曲线C的离心率为

．
故答案为：

．

[点评]

本题考查了"直线与双曲线的综合，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

166326. （2024•西安中学•高二上二月）双曲线

＝1与直线l：y＝﹣

x+m（m∈R）的公共点个数　　．

共享时间:2024-12-23 难度:5 相似度:2

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166463. （2024•铁一中学•高三上三月）已知双曲线

的左右顶点分别为A，B，点P是双曲线C上在第一象限内的点，直线PA，PB的倾斜角分别为α，β，当2tanα+tanβ取最小值时，△PAB的面积为　．

共享时间:2024-01-29 难度:5 相似度:2

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169308. （2025•铁一中学•高二上期末）已知F₁，F₂分别为双曲线

的左，右焦点，过点F₁的直线与双曲线C的左支交于P，Q两点，记△PF₁F₂的内切圆半径为m，△QF₁F₂的内切圆半径为n，若mn＝3a²，则双曲线C的离心率为　

共享时间:2025-02-12 难度:2 相似度:1.5

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2024-03-13

高中数学 | | 填空题

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更新:2024-03-13 08:20浏览量:18