已知函数有两个零点且存在唯一的整数则实数的取值范围为

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167981. （2023•师大附中•十一模）已知函数f（x）＝lnx+1﹣mx²有两个零点a，b，且存在唯一的整数x₀∈[a，b]，则实数m的取值范围为（　　）

C.．

共享时间:2023-07-16 难度:2

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[考点]

函数零点的判定定理，利用导数研究函数的极值，

[答案]

[解析]

解：由题意函数f（x）＝lnx+1﹣mx²，（x＞0）有两个零点a，b，
即f（x）＝lnx+1﹣mx²＝0，得

有两个正实根，
设

，则

，
令h'（x）＝0，解得

，当

时，h'（x）＞0，h（x）在

上单调递增；
当

时，h'（x）＜0，h（x）在

上单调递减；
故当

时，函数取得极大值，且

，
又

时，h（x）＝0；当

时，h（x）＜0；
当

时，lnx+1＞0，x²＞0，h（x）＞0，
作出函数h（x）的大致图象，如图所示：

直线y＝m与

的图象的两个交点的横坐标即分别为a，b，
由题意知

，又

，
因为存在唯一的整数x₀∈[a，b]，所以1≤b＜2，
又直线y＝m与

的图象有两个交点，
由图可知：h（2）＜m≤h（1），∴

，即

，
故选：D．

[点评]

本题考查了"函数零点的判定定理，利用导数研究函数的极值，"，属于"必考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

19743. （2021•陕西省•乙卷）设a≠0，若x＝a为函数f（x）＝a（x﹣a）²（x﹣b）的极大值点，则（　　）

A.a＜b

B.a＞b

C.ab＜a²

D.ab＞a²

共享时间:2021-06-21 难度:3 相似度:1.5

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231259. （2016•西工大附中•五模）已知函数f（x）＝

有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　）

A.（1+ln2，3]

C.．（ln2，3]

B.（0，1+ln2）

D.（0，3]

共享时间:2016-05-11 难度:1 相似度:1.5

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170586. （2021•西安中学•高二上期末）已知函数f（x）＝ksinx+2x+1（k∈R），当k∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）时，f（x）在（0，2π）内的极值点的个数为（　　）

A.．0

B.1

C.2

D.3

共享时间:2021-02-14 难度:1 相似度:1.5

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19764. （2021•陕西省•乙卷）设a≠0，若x＝a为函数f（x）＝a（x﹣a）²（x﹣b）的极大值点，则（　　）

A.a＜b

B.a＞b

C.ab＜a²

D.ab＞a²

共享时间:2021-06-21 难度:3 相似度:1.5

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170784. （2020•西安中学•高二上期末）若函数f（x）＝

x²﹣2x+alnx有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（　　）

A.．a＞1

B.﹣1＜a＜0

C.．a＜1

D.0＜a＜1

共享时间:2020-02-24 难度:1 相似度:1.5

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172364. （2021•西安中学•高一上期中）设函数f（x）＝x³﹣（

）^x的零点为x₀，则x₀所在的区间是（　　）

A.（0，1）

B.．（1，2）

C.（2，3）

D.．（3，4）

共享时间:2021-11-10 难度:1 相似度:1.5

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230688. （2022•长安区•二模）函数f（x）的定义域为R，其导函数f′（x）的图像如图所示，则函数f（x）极值点的个数为（　　）

A.．2

B.．3

C.．4

D.5

共享时间:2022-03-16 难度:1 相似度:1.5

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231137. （2016•西工大附中•四模）如果函数

（a＞0）没有零点，则a的取值范围为（　　）

A.（0，1）

C.（0，1）

B.．（0，1）∪（2，+∞）

D.∪（2，+∞）

共享时间:2016-04-17 难度:1 相似度:1.5

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231283. （2016•西工大附中•五模）已知函数f（x）＝

有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　）

A.（1+ln2，3]

C.（ln2，3]

B.（0，1+ln2）

D.（0，3]

共享时间:2016-05-04 难度:1 相似度:1.5

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170408. （2022•长安区一中•高二上期末）若a＞0，b＞0，且函数f（x）＝4x³﹣ax²﹣2bx+2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于（　　）

A.．2

B.．3

C.．6

D.9

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231460. （2016•西工大附中•九模）对于三次函数f（x）＝ax³+bx²+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y＝f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）＝0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y＝f（x）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g（x）＝