已知函数其中在给定的平面直角坐标系中画出时函数的图象求函数的图象与直线围成多边形的面积的最大值并指出面积最大时的值

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167904. （2024•西安八十九中•三模）已知函数f（x）＝|2x+1|+|x+m|（其中m∈[﹣1，0]）．

（Ⅰ）在给定的平面直角坐标系中画出

时函数f（x）的图象；
（Ⅱ）求函数f（x）的图象与直线y＝3围成多边形的面积的最大值，并指出面积最大时m的值．

共享时间:2024-04-02 难度:2

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[考点]

函数的图象与图象的变换，分段函数的应用，

[答案]

（Ⅰ）图象见解析；

（Ⅱ）函数y＝f（x）的图象与直线y＝3围成多边形的面积的最大值为

，此时m＝0．

[解析]

解：（Ⅰ）当

时，f（x）＝|2x+1|+|x﹣

|＝

，
在坐标平面内作出函数f（x）的图象，如图：

（Ⅱ）依题意，f（x）＝|2x+1|+|x+m|＝

，其图象如图：

令y＝3，得函数y＝f（x）的图象与直线y＝3的两个交点

，

，
直线y＝x+1﹣m与直线y＝3交于点E（2+m，3），
显然

，f（﹣m）＝1﹣2m，即点

，C（﹣m，1﹣2m），
函数y＝f（x）的图象与直线y＝3围成多边形为四边形ABCD，
其面积为：S_{四边形ABCD}＝S_△ABE﹣S_△CDE＝

[（2+m）﹣（﹣

）]×[3﹣（

）]﹣

[3﹣（1﹣2m）]＝

，
显然函数

在[﹣1，0]上单调递增，
当m＝0时，

，
所以函数y＝f（x）的图象与直线y＝3围成多边形的面积的最大值为

，此时m＝0．

[点评]

本题考查了"函数的图象与图象的变换，分段函数的应用，"，属于"易错题"，熟悉题型是解题的关键。

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