如图在三棱柱中侧棱底面为的中点求三棱柱的表面积求证平面

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167762. （2024•西安一中•三模）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA₁＝AB＝2，BC＝3．
（1）求三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的表面积；
（2）求证：AB₁∥平面BC₁D．

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[考点]

棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积，直线与平面平行，

[答案]

见试题解答内容

[解析]

解：（1）因为侧棱AA₁⊥底面ABC，
所以三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁为直三棱柱，
所以侧面BCC₁B₁，BAA₁B₁，CAA₁C₁均为矩形，
因为AB⊥BC，
所以底面ABC，A₁B₁C₁均为直角三角形，
因为AA₁＝AB＝2，BC＝3，
所以

，
所以三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的表面积为

＝

；
（2）证明：连接B₁C交BC₁于点O，连接OD，
因为四边形BCC₁B₁为矩形，
所以O为B₁C的中点，
因为D为AC的中点，
所以OD∥AB₁，
因为AB₁⊄平面BC₁D，OD⊂平面BC₁D，
所以AB₁∥平面BC₁D，得证．

[点评]

本题考查了"棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积，直线与平面平行，"，属于"必考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

170855. （2025•师大附中•高一下期中）如图，正四棱台ABCD﹣A₁B₁C₁D₁是一块铁料，上、下底面的边长分别为40cm和80cm，O₁，O分别是上、下底面的中心，棱台高为60cm．
（1）求正四棱台ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的表面积；
（2）若将这块铁料最大限度地打磨为一个圆台，求圆台的体积．

共享时间:2025-05-01 难度:1 相似度:1.5

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171890. （2023•长安区一中•高一下期中）如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC₁，点D是AB的中点．求证：
（1）AC₁∥平面B₁CD；
（2）A₁B⊥B₁C．

共享时间:2023-05-15 难度:1 相似度:1.5

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169100. （2020•西工大附中•三模）如图，在四棱锥B﹣ACDE中，平面ABC⊥平面ACDE，△ABC是一个边长为4的正三角形，在直角梯形ACDE中，AE∥CD，AE⊥AC，AE＝2，CD＝3，点P在棱BD上，且BP＝2PD．
（1）求证：EP∥平面ABC；
（2）设点M在线段AC上，若平面PEM与平面EAB所成的锐二面角的余弦值为

，求MP的长．

共享时间:2020-04-14 难度:2 相似度:1

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169145. （2020•西工大附中•二模）已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，∠BAC＝120°，

，

，E、F分别是BC、A₁C₁的中点．
（1）证明：EF∥平面ABB₁．
（2）求直线B₁E与平面A₁BE所成角的正弦值．

共享时间:2020-03-17 难度:2 相似度:1

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169169. （2020•高新一中•三模）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，BF，DE，CG都垂直于平面ABCD，且CG＝2BF＝2ED＝2．
（1）证明：AE∥平面BCF；
（2）若∠DAB＝

，求三棱锥D﹣AEF的体积．

共享时间:2020-04-01 难度:2 相似度:1

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169352. （2024•师大附中•高一下期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，△DCP是等边三角形，

，点M，N分别为DP和AB的中点．
（1）求证：MN∥平面PBC；
（2）求证：平面PBC⊥平面ABCD；
（3）求CM与平面PAD所成角的正弦值．

共享时间:2024-07-09 难度:2 相似度:1

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169418. （2024•西安中学•高三上期末）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为梯形，CD∥AB，AB⊥BC，PA⊥PD，BC＝CD＝PA＝PD＝1，AB＝2，平面PAD⊥平面PBC．
（1）若PB的中点为N，求证：CN∥平面PAD；
（2）求二面角P﹣AD﹣B的正弦值．

共享时间:2024-02-27 难度:2 相似度:1

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169696. （2024•西安八十五中•高一下期末）如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E为AA₁的中点，F为AE的中点．
（1）求证：CE∥平面BDF；
（2）求三棱锥E﹣BDF的体积．

共享时间:2024-07-08 难度:2 相似度:1

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169811. （2023•西安中学•高一下期末）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为

的等腰三角形，E、F分别为AB、PC的中点．
（Ⅰ）证明：BF∥平面PDE；
（Ⅱ）求三棱锥E﹣BDF的体积．

共享时间:2023-07-12 难度:2 相似度:1

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170078. （2023•铁一中学•高一下期末）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，点E，F分别为棱DC和D₁C₁的中点．
（1）求证：A₁F∥平面AD₁E；
（2）求三棱锥A₁﹣AED₁的体积．

共享时间:2023-07-06 难度:2 相似度:1

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170190. （2023•高新一中•高一下期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝2，AD＝PD＝4，∠BAD＝60°，∠ADP＝120°，点E为PA的中点．
（1）求证：BE∥平面PCD；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求直线CD与平面PAC所成角的正弦值．

共享时间:2023-07-11 难度:2 相似度:1

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170442. （2022•长安区一中•高二上期末）如图，四棱台ABCD﹣EFGH的底面为正方形，DH⊥平面ABCD，EH＝DH＝

AD＝1．
（1）求证：AE∥平面BDG；
（2）若平面BDG∩平面ADH＝m，求直线m与平面BCG所成角的正弦值．

共享时间:2022-02-23 难度:2 相似度:1

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170664. （2021•长安区一中•高二上期末）如图，在等腰直角三角形PAD中，∠A＝90°，AD＝8，AB＝3，B，C分别是PA，PD上的点，且AD∥BC，M，N分别为BP，CD的中点，现将△BCP沿BC折起，得到四棱锥P﹣ABCD，连结MN．

（1）证明：MN∥平面PAD；
（2）在翻折的过程中，当PA＝4时，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．

共享时间:2021-02-18 难度:2 相似度:1

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166388. （2024•长安区一中•高二上二月）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁是矩形，AC⊥AB，AB＝AA₁＝2，AC＝3，∠A₁AB＝120°，E，F分别为棱A₁B₁，BC的中点，G为线段CF的中点．
（1）证明：A₁G∥平面AEF；
（2）求二面角A﹣EF﹣B的余弦值．

共享时间:2024-12-18 难度:2 相似度:1

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170815. （2020•西安中学•高二上期末）如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，已知AA₁＝2，AC＝BC＝1，且AC⊥BC，M是A₁B₁的中点．
（Ⅰ）求证：CB₁∥平面AC₁M；
（Ⅱ）设AC与平面AC₁M的夹角为θ，求sinθ．

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2024-04-15

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2024年陕西省西安一中高考数学三模试卷（文科）

更新:2024-04-15 01:06浏览量:16

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