已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合过点且与轴垂直的直线交于两点是与的一个公共点求与的标准方程过点且与相切的直线与交于点求

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166505. （2024•铁一中学•高二上二月）已知椭圆

的右焦点F与抛物线

的焦点重合，过点F且与x轴垂直的直线交C₂于A，B两点，M是C₁与C₂的一个公共点，|MF|＝5，|AF|＝6．
（1）求C₁与C₂的标准方程；
（2）过点A且与C₂相切的直线l与C₁交于点C，D，求|CD|．

共享时间:2024-12-24 难度:5

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组卷

[考点]

椭圆的参数方程，

[答案]

（1）C₁的标准方程为

，C₂的标准方程为y²＝12x；

（2）

．

[解析]

解：（1）记F（c，0）（c＞0），
则抛物线C₂的方程为y²＝4cx，其准线方程为x＝﹣c，
因为|AF|＝6，所以6²＝4c²，解得c＝3，
则C₂的标准方程为y²＝12x，
不妨设点M在第一象限，记M（x_M，y_M）（x_M＞0，y_M＞0），因为|MF|＝5，
所以c+x_M＝5，解得x_M＝2，
因为

，所以

，即

，
联立

解得

所以C₁的标准方程为

；
（2）如图，不妨设点A在第一象限，

由题，|AF|＝6，则可设A（x_A，6），代入y²＝12x，
解得：x_A＝3，即A（3，6），
显然，直线l的斜率不为0，
设直线l：x＝m（y﹣6）+3，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
联立

化简得y²﹣12my+72m﹣36＝0，
则Δ＝（12m）²﹣4×（72m﹣36）＝0，解得：m＝1，
所以直线l的方程为x﹣y+3＝0，
联立

化简得7x²+24x﹣72＝0，显然Δ＞0，
则

，
所以

．

[点评]

本题考查了""，属于"压轴题"，熟悉题型是解题的关键。

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＝1，直线l：

（t为参数）．
（Ⅰ）写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；
（Ⅱ）设 A（1，0），若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等，求点P的坐标．

共享时间:2020-07-05 难度:2 相似度:1.5

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2024-12-24

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