在平面直角坐标系中已知抛物线经过点求抛物线的表达式设关于原点对称的抛物线为的顶点为对称轴为若点在上点在上连接若为等腰直角三角形求点的坐标

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273942. （2024•师大附中•五模）在平面直角坐标系中，已知抛物线L：y=ax²+bx-1经过点A（2，7），B（-1，-2）．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）设L关于原点O对称的抛物线为L′，L′的顶点为P，对称轴为l.若点Q在L′上，点M在l上，连接PQ、QM．若△PQM为等腰直角三角形，求点M的坐标．

共享时间:2024-05-07 难度:5

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[考点]

二次函数的综合应用，

[校正]

[答案]

（1）y＝x

+2x﹣1；

（2）点M的坐标为：（1，0）或（1，1）．

[解析]

解：（1）由题意得：

，
解得：

，
则抛物线的表达式为：y＝x²+2x﹣1；
（2）根据点的对称性得L′的表达式为：y＝﹣x²+2x+1，
则点P（1，2），设点M（1，m）；
当∠PMQ为直角时，如图：

则PM＝2﹣m＝MQ，
则点Q（3﹣m，m），
将点Q的坐标代入抛物线表达式得：m＝﹣（3﹣m）²+2（3﹣m）+1，
解得：m＝2（舍去）或1，
即点M（1，1）；
当∠PQM为直角时，

过点Q作QT⊥l，
则PM＝2﹣m＝2QT＝2MT，
则点Q的坐标为：（2﹣

m，1+

m），
将点Q的坐标代入抛物线表达式得：1+

m＝﹣（2﹣

m）²+2（2﹣

m）+1，
解得：m＝2（舍去）或0，
即点M（1，0）；
综上，点M的坐标为：（1，0）或（1，1）．

[点评]

本题考查了""，属于"压轴题"，熟悉题型是解题的关键。

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考点说明

灰色代表去掉的考点，绿色代表未变动的考点，红色代表新增的考点

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

273967. （2024•师大附中•四模）已知抛物线L₁：y＝x²+bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3），对称轴为直线x＝1．
（1）求此二次函数表达式和点A、点B的坐标；
（2）点P为第四象限内抛物线L₁上一动点，将抛物线L₁平移得到抛物线抛物线L₂，使得抛物线L₂的顶点为点P，抛物线L₂与y轴交于点E，过点P作y轴的垂线交y轴于点D．是否存在这样的点P，使得以点P、D、E为顶点的三角形与△AOC相似，请你写出平移过程，并说明理由．

共享时间:2024-04-19 难度:5 相似度:2

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181542. （2023•曲江一中•九上一月） $德优题库$ 如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别相交于B、C，经过B、C两点的抛物线y=ax²+bx+c与x轴另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2．
（1）求抛物线解析式；
（2）连接AC，请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ACB相似，若存在，请求出Q点坐标；若不存在，说明理由．

共享时间:2023-10-14 难度:5 相似度:1.5

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279229. （2024•曲江一中•二模）如图，抛物线y=x²+bx-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线顶点，已知A（-1，0），连接BC，抛物线对称轴与BC交于点E．
$德优题库$
（1）求b的值及顶点D的坐标；
（2）点P是抛物线上的动点，点Q是直线BC上的动点，是否存在以DE为边，且以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2024-03-27 难度:5 相似度:1.5

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csyn@dyw.com

2024-05-07

初中数学 | | 解答题

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