如图在三棱锥中的中点分别为点在上求证平面若求三棱锥的体积

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257149. （2023•陕西省•乙卷）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2

，PB＝PC＝

，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO．
（1）求证：EF∥平面ADO；
（2）若∠POF＝120°，求三棱锥P﹣ABC的体积．

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[考点]

棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行，

[校正]

[答案]

（1）证明见解析；

（2）

．

[解析]

（1）证明：在Rt△ABC中，作FH⊥AB，垂足为H，设AH＝x，则HB＝2﹣x，
因为FH∥CB，所以Rt△AHF∽Rt△ABC，所以

＝

，即

＝

，解得HF＝

x，
又因为∠BFH＝∠FBO，所以∠AOB＝∠FBH，且∠BHF＝∠OBA＝90°，
所以Rt△BHF∽Rt△OBA，所以

＝

，即

＝

，解得x＝1，
即AH＝1，所以H是AB的中点，F是AC的中点，
又因为E是PA的中点，所以EF∥PC，同理，DO∥PC，所以EF∥DO，
又因为EF⊄平面ADO，DO⊂平面ADO，
所以EF∥平面ADO；
（2）解：过P作PM垂直FO的延长线交于点M，因为PB＝PC，O是BC中点，所以PO⊥BC，在Rt△PBO中，PB＝

，BO＝

BC＝

，所以

，
因为AB⊥BC，OF∥AB，所以OF⊥BC，又PO∩OF＝O，PO，OF⊂平面POF，所以BC⊥平面POF，
又PM⊂平面POF，所以BC⊥PM，
又BC∩FM＝O，BC，FM⊂平面ABC，
所以PM⊥平面ABC，即三棱锥P﹣ABC的高为PM，
因为∠POF＝120°，所以∠POM＝60°，
所以

，
△ABC的面积为S_△ABC＝

×AB×BC＝

×2×2

＝2

，
所以三棱锥P﹣ABC的体积为V_{三棱锥P﹣ABC}＝

×2

＝

．

[点评]

本题考查了"棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行，"，属于"易错题"，熟悉题型是解题的关键。

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考点说明

灰色代表去掉的考点，绿色代表未变动的考点，红色代表新增的考点

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

167739. （2024•西安一中•四模）如图，几何体ABC﹣DEF为三棱台．
（1）证明：DE∥平面ABF．
（2）已知平面ACFD⊥平面DEF，AC⊥BC，AC＝AD＝CF＝6，BC＝3，DF＝12，求三棱台ABC﹣DEF的体积．
参考公式：台体的体积

，其中S₁，S₂分别为台体的上底面面积、下底面面积，h为台体的高．

共享时间:2024-04-26 难度:2 相似度:2

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236667. （2016•交大附中•高一上期末）如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AB＝AC＝5，BB₁＝BC＝6，D，E分别是AA₁和B₁C的中点
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求三棱锥E﹣BCD的体积．

共享时间:2016-02-11 难度:2 相似度:2

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168318. （2021•西安中学•十模）如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD＝∠BCE＝

，∠ECD＝120°，BC＝CD＝CE＝2AD＝2BG＝2．
（1）求证：AG∥平面BDE；
（2）求三棱锥E﹣BCD的体积．

共享时间:2021-07-10 难度:2 相似度:2

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168034. （2023•西安中学•七模）如图①，已知△AB′C是边长为2的等边三角形，D是AB'的中点，DH⊥B'C，如图②，将△B'DH沿边DH翻折至△BDH．

（1）在线段BC上是否存在点F，使得AF∥平面BDH？若存在，求

的值；若不存在，请说明理由；
（2）若平面BHC与平面BDA所成的二面角的余弦值为

，求三棱锥B﹣DCH的体积．

共享时间:2023-06-04 难度:2 相似度:2

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168010. （2023•师大附中•十模）如图，直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，AA₁＝8，AB＝4，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB₁，A₁D的中点．
（Ⅰ）证明：MN∥平面C₁DE；
（Ⅱ）求三棱锥N﹣C₁DE的体积．

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169811. （2023•西安中学•高一下期末）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为

的等腰三角形，E、F分别为AB、PC的中点．
（Ⅰ）证明：BF∥平面PDE；
（Ⅱ）求三棱锥E﹣BDF的体积．

共享时间:2023-07-12 难度:2 相似度:2

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170078. （2023•铁一中学•高一下期末）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，点E，F分别为棱DC和D₁C₁的中点．
（1）求证：A₁F∥平面AD₁E；
（2）求三棱锥A₁﹣AED₁的体积．

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171805. （2023•西安中学•高一下期中）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，D是AB的中点．
（1）证明：BC₁∥平面A₁CD；
（2）设AA₁＝AC＝CB＝2，AB＝2

，求几何体BDC﹣A₁B₁C₁的体积．

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172203. （2023•交大附中•高一下期中）《九章算术》卷第五《商功》中有记载：“刍薨者，下有袤有广，而上有袤无广”．刍，草也．薨，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍薨字面意思为茅草屋顶．”现有“刍薨”如图所示，四边形EBCF为矩形，BC＝2BE＝2AE＝2AG＝4，且AG∥EF．
（Ⅰ）若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO∥平面GCF；
（Ⅱ）若AE⊥EF，且

，求三棱锥A﹣BEF的体积．

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232636. （2023•鄠邑二中•高三上三月）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，AD⊥AB，E，F分别是棱AB，PC的中点．
（1）证明：EF∥平面PAD．
（2）若

，且四棱锥P﹣ABCD的体积是6，求三棱锥F﹣PAD的体积．

共享时间:2023-01-29 难度:2 相似度:2

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235936. （2020•高新一中•高三上期末）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E，F，G，H分别是棱CC₁，DD₁，B₁C₁，A₁D₁的中点，直线AF与DH交于点P，直线BE与CG交于点S．
（1）求证：直线PS∥平面ABCD；
（2）求四棱锥B﹣PDCS的体积．