问题提出如图在中点是边上任意一点连接并将线段绕点顺时针方向旋转与相等的角度得到线段连接则线段三者之间的数量关系是问题探究如图在四边形中求的值如图在中是线段上的任意一点连接将线段绕点顺时针方向旋转得到线段连接线段

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25283. （2023•高新一中•八下期中）问题提出：
$德优题库$
（1）如图1，在△ABC中AB=AC，点P是BC边上任意一点，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AQ，连接BQ．则线段BQ、BP、BC三者之间的数量关系是．
问题探究：
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD=6，∠BCD=∠BAD=90°，AC=8．求BC+CD的值；
（3）如图3，在△ABC中，AC=4，∠ACB=90°，∠ABC=30°，P是线段BC上的任意一点，连接AP，将线段AP绕点A顺时针方向旋转60°，得到线段AQ．连接CQ，线段CQ是否存在最小值？若存在，请求出CQ的最小值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2022-05-29 难度:3

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[考点]

四边形综合题，

[答案]

（1）BC=BP+BQ；
（2）BC+CD＝8
(3) 2

[解析]

解：（1）∵∠BAC=∠PAQ，
∴∠BAC-∠BAP=∠PAQ-∠BAP，
即∠PAC=∠BAQ，
∵AP=AQ，AC=AB，
∴△ACP≌△ABQ（SAS），
∴PC=BQ，
∴BC=BP+PC=BP+BQ，
即BC=BP+BQ．
故答案为：BC=BP+BQ．
（2）将CA绕点A逆时针旋转90°到EA，连接DE，如图所示：
$菁优网$
根据旋转可知，∠CAE=90°，AE=AC，
∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE，
即∠BAC=∠DAE，
∵AE=AC，AB=AD，
∴△BAC≌△DAE（SAS），
∴∠ABC=∠ADE，BC=DE，
∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴∠ABC+∠ADC=360°-90°-90°=180°，
∴∠ADE+∠ADC=180°，
∴C、D、E在同一直线上，
∴CE=CD+DE=CD+BC，
∵AE=AC=8，∠CAE=90°，
∴∴CE＝

，
∴BC+CD＝8

．
（3）在AB上截取AD=AC，连接DP，过点D作DE⊥BC于点E，如图所示：
$菁优网$
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠CAB=90°-30°=60°，
根据旋转可知，AQ=AP，∠PAQ=60°，
∴∠PAQ=∠CAD，
∴∠CAQ+∠CAP=∠PAD+∠CAP，
即∠CAQ=∠PAD，
∵AQ=AP，AC=AD，
∴△CAQ≌△DAP（SAS），
∴CQ=DP，
∴DP最小时CQ最小，
∵垂线段最短，
∴当点P与点E重合时，CQ最小，
∵AC=4，∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴AB=2AC=8，
∵AD=AC=4，
∴DB=AB-AD=4，
∵∠B=30°，∠DEB=90°，
∴DE＝