问题提出如图是等边的中线点在的延长线上且则的度数为问题探究如图在中过点作且过点作直线分别交于点求四边形的面积问题解决如图现有一块型板材为钝角工人师傅想用这块板材裁出一个型部件并要求工人师傅在这块板材上的作法如下以点为圆心以长为半径画弧

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24639. （2022•陕西省•真题）问题提出
（1）如图1，AD是等边△ABC的中线，点P在AD的延长线上，且AP＝AC，则∠APC的度数为　　．
问题探究
（2）如图2，在△ABC中，CA＝CB＝6，∠C＝120°．过点A作AP∥BC，且AP＝BC，过点P作直线l⊥BC，分别交AB、BC于点O、E，求四边形OECA的面积．
问题解决
（3）如图3，现有一块△ABC型板材，∠ACB为钝角，∠BAC＝45°．工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件，并要求∠BAP＝15°，AP＝AC．工人师傅在这块板材上的作法如下：
①以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D，连接CD；
②作CD的垂直平分线l，与CD交于点E；
③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线l于点P，连接AP、BP，得△ABP．
请问，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？请证明你的结论．

共享时间:2022-06-21 难度:5

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[考点]

线段垂直平分线的定理，三线合一定理，三角形综合题，菱形的性质，正方形的性质，四边形与面积问题，

[答案]

答案详见解答

[解析]

解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵AD是等边△ABC的中线，
∴∠PAC＝

∠BAC＝30°，
∵AP＝AC，
∴∠APC＝

×（180°﹣30°）＝75°，
故答案为：75°；
（2）如图2，连接PB，

∵AP∥BC，AP＝BC，
∴四边形PBCA为平行四边形，
∵CA＝CB，
∴平行四边形PBCA为菱形，
∴PB＝AC＝6，∠PBC＝180°﹣∠C＝60°，
∴BE＝PB•cos∠PBC＝3，BE＝PB•sin∠PBC＝3

，
∵CA＝CB，∠C＝120°，
∴∠ABC＝30°，
∴OE＝BE•tan∠ABC＝，
∴S_{四边形OECA}＝S_△ABC﹣S_△OBE
＝

×6×3

﹣

×3×

＝

；
（3）符合要求，
理由如下：如图3，过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，两条平行线交于点F，
∵CA＝CD，∠DAC＝45°，

∴∠ACD＝90°，
∴四边形FDCA为正方形，
∵PE是CD的垂直平分线，
∴PE是AF的垂直平分线，
∴PF＝PA，
∵AP＝AC，
∴PF＝PA＝AF，
∴△PAF为等边三角形，
∴∠PAF＝60°，
∴∠BAP＝60°﹣45°＝15°，
∴裁得的△ABP型部件符合要求．

[点评]

本题考查了"线段垂直平分线的定理,三线合一定理,三角形综合题,菱形的性质,正方形的性质,四边形与面积问题",属于"压轴题"，熟悉知识点是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

199188. （2022•交大附中•八下期中） $德优题库$ 如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE．
（1）若∠BAE=40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC周长13cm,AC=6cm,求DC长．

共享时间:2022-05-14 难度:5 相似度:1.17

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181245. （2024•西光中学•八下二月） $德优题库$ 如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，且∠BAE=30°，请用尺规作图法，在CD上求作一点F，使点F到AE的距离等于DF的长．（保留作图痕迹，不写作法）

共享时间:2024-06-24 难度:1 相似度:1.17

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185648. （2024•铁一中学•八下期中）（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=4，AB=3．则当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值是．
（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=4，AB=3，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边△ABD和等边△ACE，连接CD、BE，求出线段BE长的最大值并说明理由．
（3）拓展：如图3，在点A的正东方向3000米处有一物资补给站B，某园林部门要规划一片牡丹种植园△BCD，要求CB=CD，∠BCD=90°，且AC=1000米．为了在点A有最佳的观赏效果，要求线段AD最长，试求线段AD长的最大值及此时点C到直线AB的距离．
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共享时间:2024-05-29 难度:1 相似度:1.17

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185621. （2024•铁一中学•七下期中）综合与实践：七年级某数学活动小组在探究三角形时，提出了如下数学问题：
（1）【问题情境】如图（1），平面内有三个点A，B，C，AB=8，AC=6，则BC长度的最大值为；
（2）【深入探究】如图（2）所示，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，其中∠ACB=∠ECD=90°，试探究BE与AD的数量关系，并说明理由；
（3）【延伸拓展】如图（3）所示，△ABC是边长为4的等边三角形，D为BC的中点，E为平面内一点且DE=1，连接CE，以CE为边向外作等边△CEF，连接AF，请写出AF的最大值，并说明理由．
$德优题库$

共享时间:2024-05-10 难度:1 相似度:1.17

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185553. （2023•高新三中•八上期中）（1）问题发现：
如图1，等腰直角△AOB置于平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（4，0），（0，4），D是AB上一点，AD＝OA，则点D的坐标为　　．
（2）问题探究：如图2，若点A，B的坐标分别为（16，0），（0，12），其余条件与（1）相同，求经过O，D两点的直线表达式．
（3）问题解决：国庆前夕，大唐芙蓉园景区为了提高服务质量，想尽可能美化每一个角落，给游客美的享受．如图3，△ABO是景区东门的广场一角，OA，OB两面墙互相垂直，景区管理部门设计将OA，OB墙面布置成历史人文宣传墙，AB边上用建筑隔板搭出AD段将该角落与广场其他区域隔开，AD段布置成长安八景图，剩余BD部分为广场角出入口，内部空间放置一些绿植和供游人休息的桌椅，考虑到出入安全，还需在靠近出入口的E处建一个安检点．已知AD＝OA＝16m，OB＝12m，BC平分∠OBA，安检点E在BC与OD的交点处．求点E分别到OB，OA墙面的距离．

共享时间:2023-11-24 难度:1 相似度:1.17

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185527. （2024•高新一中•七下期中）（1）模型的发现：
如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，且B、C两点在直线l的同侧，BD⊥直线l,CE⊥直线l,垂足分别为点D，E．请直接写出DE，BD和CE的关系．
（2）模型的迁移1：位置的改变
如图2，在（1）的条件下，若B，C两点在直线l的异侧，（1）的结论还成立吗？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明DE，BD和CE的关系，并证明．
（3）模型的迁移2：角度的改变
如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角，即∠BAC=∠1=∠2=α，其中90°＜α＜180°，（1）的结论还成立吗？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明DE，BD和CE的关系，并证明． $德优题库$

共享时间:2024-05-28 难度:1 相似度:1.17

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185251. （2024•交大附中•八上期中）【思维启迪】
（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD到点E．使DE＝AD，连接BE，则AC与BE的数量关系为　　，位置关系为　　．
【思维应用】
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为△ABC内一点，连接AD，DC，延长DC到点E，使CE＝CD，连接BE，若AD⊥BE，请用等式表示AB，AD，BE之间的数量关系，并说明理由；
【思维探索】
（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB中点，点E在射线DB上（点E不与点B，点D重合），连接CE，过点B作BF⊥CE，垂足为点F，连接FD．若

，BF＝2，请直接写出FD的长．

共享时间:2024-11-29 难度:1 相似度:1.17

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185181. （2025•高新三中•七下期中）【问题提出】
（1）小明和小亮在一次学习中遇到了以下问题，如图①，AD是△ABC的中线，若AB=4，AC=6，求BC和AD的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了BC的取值范围，请你也算一算，BC的取值范围为．
【探究方法】
（2）他们遇到的困难是算不出AD的取值范围，于是他们求助于学习小组的同学，讨论后发现了一种新的方法，具体做法如下：延长AD至点E，使DE=AD，连接BE．可证出△ACD≌△EBD，利用全等三角形的性质可将已知的边长与AD转化到△ABE中，进而求出AD的取值范围为．
【迁移应用】
（3）如图②，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB，∠BAC=∠BCA，求证：AE=2AD．
（4）如图③，AD是△ABC的中线，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠FAC=90°，请你判断线段AD与EF的关系，并加以证明．
$德优题库$

共享时间:2025-05-11 难度:1 相似度:1.17

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185083. （2024•师大附中•八上期中）【问题情境】
（1）如图1，把一块三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知∠D＝∠E＝90°，在滑动过程中，线段AD与BE的数量关系为　．
【变式探究】
（2）如图2，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝45°，点D、F分别是边BC、AB上的动点，且BF+BD＝CD．以DF为腰向右作等腰△DEF，使得DE＝DF，∠EDF＝45°，连接CE，求∠ACE的度数．
【拓展应用】
（3）如图3，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝2，BC＝6，点D是BC上的动点，以AD为腰向右作等腰△ADE，使得DE＝AD，∠ADE＝45°，连接EA、EC，则△CDE的面积是否存在最大值？若存在，求出其面积的最大值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2024-11-15 难度:1 相似度:1.17

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185059. （2024•师大附中•九上期中）如图1，已知四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＜AD，对角线AC平分∠BAD，BC＝CD．
（1）求证：BC⊥CD．
（2）如图2，延长DA，CB交于点E，过点D作DH⊥AC，垂足为H，过点E作EF⊥DH交DH延长线于F，DF，EC交于G．求证：DF•DG＝CD•EG．
（3）如图3，在（2）的条件下，过点E作EQ⊥EC交CA延长线于Q，EQ：CD＝2：3，CG＝1，求AB的长．

共享时间:2024-11-10 难度:1 相似度:1.17

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181490. （2024•铁一中学•八下一月） $德优题库$ 如图，AB是线段CD的垂直平分线，E，F是AB上的两点，求证：∠ECF=∠EDF．

共享时间:2024-04-20 难度:5 相似度:1.17

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181397. （2024•经开一校(原经发)•七下二月）在等边△ABC中，点D是直线BC上的一个点（不与点B、C重合），以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：BD=CE；
（2）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上时，若∠BAE=α，求∠DEC的度数；（用含α的代数式表示）
（3）如图3，当点D在线段BC的延长线上时，若BD⊥DE，且S_△ABC=4，求△ACF的面积．
$德优题库$

共享时间:2024-06-10 难度:1 相似度:1.17

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181396. （2024•经开一校(原经发)•七下二月） $德优题库$ 如图，△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，垂足为D，且BD=DE，连接AE．
（1）求证：AB=EC；
（2）若△ABC的周长为20cm,AC=7cm,则DC的长为多少？

共享时间:2024-06-10 难度:5 相似度:1.17

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181177. （2023•爱知中学•九上四月） $德优题库$ 如图，已知正方形ABCD，点E是AB边上的一点，连接ED．请用尺规作图的方法在线段DE上求作一点F，使得∠BEF+∠BCF=180°（不写作法，保留作图痕迹）．

共享时间:2023-01-10 难度:1 相似度:1.17

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190324. （2025•高陵区•八上期末）定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三角形”．例如：三个内角分别为100°，60°，20°的三角形是“优美三角形”．
$德优题库$
【概念理解】
（1）如图1，∠MON=60°，点A在边OM上，过点A作AB⊥OM，交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与点O，B重合）．
①△AOB “优美三角形”（填“是”或“不是”）．
②若∠ACB=80°，求证：△AOC是“优美三角形”．
【应用拓展】
（2）如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，∠BDC＞90°，作∠ADC的平分线，交AC于点E，在DC上取一点F，使∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B．若△BCD是“优美三角形”，求∠B的度数．

共享时间:2025-02-07 难度:1 相似度:1.17

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竹黎

2022-06-21

初中数学 | | 解答题

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2022年陕西省中考数学试卷（A）

更新:2022-06-21 02:50浏览量:2237

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