已知函数若对任意的都有求的解析式设判断并证明的奇偶性解不等式

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233369. （2022•西工大附中•高一上二月）已知函数f（x）＝a^x+b，f（1）＝1，若对任意的x，y都有f（x+y）＝f（x）f（y）+f（x）+f（y）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设

，
（ⅰ）判断并证明F（x）的奇偶性；
（ⅱ）解不等式：

．

共享时间:2022-12-20 难度:1

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[考点]

抽象函数的奇偶性，

[答案]

（1）f（x）＝2^x﹣1，x∈R．

（2）（ⅰ）F（x）为奇函数，证明详情见解答．

（ⅱ）{x|﹣1＜x＜1}．

[解析]

解：（1）因为f（1）＝a+b＝1，
因为对任意的x，y都有f（x+y）＝f（x）f（y）+f（x）+f（y），
令x＝1，y＝0，则f（1）＝f（1）•f（0）+f（1）+f（0）＝1，
所以f（0）＝0，
所以f（0）＝a⁰+b＝1+b＝0，
解得b＝﹣1，a＝2，
所以f（x）＝2^x﹣1，x∈R．
（2）F（x）＝

﹣

＝

﹣

，x∈R，
（ⅰ）F（﹣x）＝

﹣

＝

﹣

＝

﹣

＝

﹣

＝

﹣

＝﹣F（x），
所以F（x）为奇函数．
（ⅱ）因为y＝2^x+1是R上的增函数，
所以y＝

是R上的减函数，
所以F（x）＝

﹣

是R上的增函数，
所以F[1+log

（x+1）]+F[log₂（2﹣x）]＞0，
所以F[1+log

（x+1）]＞﹣F[log₂（2﹣x）]，
因为F（x）为奇函数，
所以﹣F[log₂（2﹣x）]＝F[﹣log₂（2﹣x）]，
所以F[1+log

（x+1）]＞F[﹣log₂（2﹣x）]，
因为F（x）在R上单调递增，
所以1+log

（x+1）＞﹣log₂（2﹣x），
所以1+

＞﹣log₂（2﹣x），
所以1﹣log₂（x+1）＞﹣log₂（2﹣x），
所以1＞log₂（x+1）﹣log₂（2﹣x）＝log₂（

），
因为y＝log₂x是定义在（0，+∞）上的增函数，且log₂2＝1，
所以log₂2＞log₂（

），
所以2＞

，
又2﹣x＞0，x+1＞0，
所以﹣1＜x＜1，
所以原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜1}．

[点评]

本题考查了"抽象函数的奇偶性，"，属于"基础题"，熟悉题型是解题的关键。

转载声明：

本题解析属于发布者收集录入，如涉及版权请向平台申诉！！版权申诉

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（1）判断函数f（x）的奇偶性和单调性，并加以证明；
（2）当x∈[﹣2，1]时，求函数

的值域．

共享时间:2023-11-30 难度:1 相似度:2

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2022-12-20

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