设函数对任意都有当时判断函数的奇偶性和单调性并加以证明当时求函数的值域

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171242. （2023•师大附中•高一上期中）设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）＝f（x）+f（y），当x＜0时，f（x）＞0，f（﹣1）＝1．
（1）判断函数f（x）的奇偶性和单调性，并加以证明；
（2）当x∈[﹣2，1]时，求函数

的值域．

共享时间:2023-11-30 难度:1

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组卷

[考点]

抽象函数的奇偶性，

[答案]

（1）f（x）为递减的奇函数，详见解答过程；
（2）[

﹣2，1+

]．

[解析]

解（1）：f（x）为R上单调递减的奇函数，证明如下：
令x＝y＝0，则有f（0）＝2f（0），
所以f（0）＝0，
令y＝﹣x，则有f（0）＝f（x）+f（﹣x）＝0，
即f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数；
任取x₁＜x₂，则x₁﹣x₂＞0，因为x＜0时，f（x）＞0，
所以f（x₁﹣x₂）＞0，
又因为f（x₁）﹣f（x₂）＝f（x₁﹣x₂）＞0，
所以f（x₁）＞f（x₂），
所以y＝f（x）在R上为减函数；
（2）因为f（﹣1）＝1，
所以f（1）＝﹣1，
令x＝y＝﹣1，则f（﹣2）＝f（﹣1）+f（﹣1）＝2，
x∈[﹣2，1]，所以﹣1≤f（x）≤2，
令m＝