正项数列中为数列的前项和且对任意满足若且则的最大值为

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232284. （2023•铁一中学•高三上四月）正项数列{a_n}中，S_n为数列{a_n}的前n项和，且对任意n∈N^*满足（a_n+1）²＝4S_n．若k，n∈N^*，且S_n+S_2k+2a_k≤197，则n+2k的最大值为　　．

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[考点]

数列递推式，

[答案]

18．

[解析]

解：已知正项数列{a_n}中，S_n为数列{a_n}的前n项和，且对任意n∈N^*满足

，
当n＝1时，有

，解得：a₁＝1，
当n≥2时，有

，与原递推式联立得：

，
整理得：（a_n+a_n_﹣1）（a_n﹣a_n_﹣1﹣2）＝0，
∵a_n＞0，∴a_n+a_n_﹣1＞0，则a_n﹣a_n_﹣1＝2（常数），
可得数列{a_n}是以1为首项，2为公差的等差数列，得a_n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，

，
又k，n∈N^*，且S_n+S_2k+2a_k≤197，即n²+（2k）²+2（2k﹣1）≤197，
整理得n²+（2k+1）²≤200，
又由基本不等式可得，

，
∴

，即[n+（2k+1）]²≤400，得n+（2k+1）≤20，
当且仅当n＝2k+1＝10时取“＝”，
∵k∈N^*，∴k＝4，n＝10时，n+2k取得最大值，可得n+2k的最大值为18．
故答案为：18．

[点评]

本题考查了"数列递推式，"，属于"基础题"，熟悉题型是解题的关键。

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166602. （2024•华清中学•高二上二月）已知数列{a_n}的前n项和

，则数列{a_n}的通项公式为　．

共享时间:2024-12-25 难度:1 相似度:2

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172088. （2023•铁一中学•高二下期中）数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁+3a₂+…+3ⁿ^﹣1a_n＝n•3ⁿ，若对任意n∈N^*，S_n≥（﹣1）ⁿnλ恒成立，则实数λ的取值范围为　　．

共享时间:2023-05-16 难度:1 相似度:2

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237334. （2021•西工大附中•高一下期中）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，首项a₁＝1且a_n₊₁＝2a_n+1，若λ≤S_n+2n对任意的n∈N^*恒成立，则实数λ的取值范围为　．

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237333. （2021•西工大附中•高一下期中）已知函数

，数列{a_n}满足

，则a₂₀₂₀＝　．

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237331. （2021•西工大附中•高一下期中）数列{a_n}中，若a₁＝1，

，则a₂₀＝　．

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236771. （2016•西北大附中•高一下期末）数列{a_n}满足a_n₊₁＝

，a₈＝2，则a₁＝　．

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233091. （2024•西安八十五中•高二下四月）已知数列{a_n}满足

，则

＝　　．

共享时间:2024-07-25 难度:1 相似度:2

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233088. （2024•西安八十五中•高二下四月）已知数列{a_n}中，a₁＝1，

，则a₂₀₂₁＝　．

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232566. （2023•黄河中学•高二上二月）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且

，则a₃＝　　．

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232086. （2024•西工大附中•高二下一月）数列{a_n}满足

，则a₁₀₀＝　．

共享时间:2024-04-20 难度:1 相似度:2

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231826. （2025•西工大附中•高二下一月）已知数列{a_n}满足

，

，则数列的第2024项为　．

共享时间:2025-04-10 难度:1 相似度:2

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231119. （2016•西工大附中•四模）已知数列{a_n}满足a_n+1-a_n=2n（n∈N^*），a₁=3，则

的最小值为．

共享时间:2016-04-19 难度:1 相似度:2

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166677. （2024•高新一中•高二上二月）已知数列{a_n}满足

，

，记数列{a_n}的前n项和为S_n，则S₂₀₂₅＝　．

共享时间:2024-12-27 难度:1 相似度:2

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230953. （2017•西工大附中•六模）已知数列{a_n}满足

，若[x]表示不超过x的最大整数，则

＝　．

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共享时间:2022-11-21 难度:1 相似度:2

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2023-02-28

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