在函数定义域内若存在正实数使得函数在区间上的值域为则称此函数为档类正方形函数其中已知函数当时求函数的值域当时是否存在使得函数为档类正方形函数若存在求出实数的取值范围若不存在请说明理由

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232245. （2023•铁一中学•高一上二月）在函数定义域内，若存在正实数m，n，使得函数在区间[m，n]上的值域为[m+λ，n+λ]则称此函数为“λ档类正方形函数”（其中λ∈R），已知函数

．
（1）当k＝0时，求函数y＝f（x）的值域；
（2）当x＞0时，是否存在k∈（0，1），使得函数f（x）为“1档类正方形函数”？若存在，求出实数k的取值范围，若不存在，请说明理由．

共享时间:2023-12-20 难度:1

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[考点]

复合函数的值域，

[答案]

（1）（log₃2，+∞）；

（2）存在，

．

[解析]

解：（1）当k＝0时，

（x∈R），
因为3^x+2＞2，所以

，
所以函数y＝f（x）的值域为（log₃2，+∞）．
（2）假设存在k∈（0，1），使得函数f（x）为“1档类正方形函数，即存在正实数m，n，使得函数f（x）在区间[m，n]上的值域为[m+1，n+1]，
由题意，当x＞0，0＜k＜1时，设t＝3^x（t＞1），
所以t＝3^x在（0，+∞）上为增函数，
设真数为g（t）＝2k•t²﹣（k﹣1）t+k+2，
对称轴为

，
所以当t∈（1，+∞）时，g（t）为增函数，且g（t）＞g（1）＝2k+3＞0，
所以f（x）在（0，+∞）上为增函数，
所以f（x）_min＝f（m）＝m+1，
f（x）_max＝f（n）＝n+1，
所以m，n为方程f（x）＝x+1的两个不等实根，
即方程

在（0，+∞）上有两个不等实根，
即2k•9^x﹣（k﹣1）3^x+k+2＝3^x⁺¹在（0，+∞）上有两个不等实根，
设t＝3^x（t＞1），
所以2k•t²﹣（k﹣1）t+k+2＝3t，
即方程2k•t²﹣（k+2）t+k+2＝0有两个大于1的不等实根，
令h（t）＝2k•t²﹣（k+2）t+k+2，
即函数h（t）有两个大于1的零点，
因为0＜k＜1，
所以