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166351. (2024•西工大附中•高一上二月) 一般地,若函数fx)的定义域是[ab],值域为[kakb],则称[kakb]为fx)的“k倍跟随区间”,若函数的定义域为[ab],值域也为[ab],则称[ab]为fx)的“跟随区间”.
(1)写出二次函数的一个“跟随区间”;
(2)求证:函数不存在“跟随区间”;
(3)已知函数有“4倍跟随区间”[4m,4n],当nm取得最大值时,求a的值.
共享时间:2024-12-29 难度:1
[考点]
复合函数的值域,
[答案]
(1)[0,2];
(2)证明见解析;
(3)a=15.
[解析]
解:若函数fx)的定义域是[ab],值域为[kakb],则称[kakb]为fx)的“k倍跟随区间”,
若函数fx)的定义域是[ab],值域为[kakb],则称[kakb]为fx)的“k倍跟随区间”,
若函数的定义域为[ab],值域也为[ab],则称[ab]为fx)的“跟随区间”.
(1)因为,所以值域为[0,+∞),所以“跟随区间”[ab]⊆[0,+∞),
在[0,+∞)上单调递增,所以fa)=afb)=b
从而有两个非负根,解得x1=2或x2=0,
所以二次函数的一个“跟随区间”为[0,2];
(2)证明:,设[ab]⊆{x|x≠0},
可设[ab]⊆(﹣∞,0)或[ab]⊆(0,+∞),
因为在(﹣∞,0),(0,+∞)上单调递增,
若[ab]是函数的“跟随区间”,
,则abx2x+1=0的两个不等且同号的实根,
又Δ=(﹣1)2﹣4×1×1=﹣3<0,所以x2x+1=0无实数根,
所以函数不存在“跟随区间”;
(3)因为函数有“4倍跟随区间”[4m,4n],
的定义域为{x|x≠0},
则[mn]⊆{x|x≠0},所以[mn]⊆(0,+∞)[mn]⊆(﹣∞,0)或[mn]⊆(0,+∞),
所以在[mn]上单调递增,
因为函数hx)有“4倍跟随区间”[4m,4n],
则有,所以mn是方程的两个不等且同号的实根,
即4a2x2﹣(a2+ax+1=0有两个不等且同号的实根,
所以Δ=(a2+a2﹣4×4a2×1>0,得

所以

当且仅当a=15时,nm取得最大值
a=15时符合Δ>0的条件,
所以nm取得最大值时,a的值为15.
[点评]
本题考查了"复合函数的值域,",属于"常考题",熟悉题型是解题的关键。
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dygzsxyn

2024-12-29

高中数学 | 高一上 | 解答题

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2020*西工大*期末
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