如图已知四棱台的上下底面分别是边长为和的正方形且底面点分别在棱上若是的中点证明若平面二面角的余弦值为求四面体的体积

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231443. （2016•西工大附中•六模）如图，已知四棱台ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA₁＝6，且AA₁⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD₁、BC上．
（1）若P是DD₁的中点，证明：AB₁⊥PQ；
（2）若PQ∥平面ABB₁A₁，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为

，求四面体ADPQ的体积．

共享时间:2016-05-25 难度:2

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[考点]

直线与平面垂直，二面角的平面角及求法，

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[答案]

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[解析]

解：根据已知条件知AB，AD，AA₁三直线两两垂直，所以分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：
A（0，0，0），B（6，0，0），D（0，6，0），A₁（0，0，6），B₁（3，0，6），D₁（0，3，6）；
Q在棱BC上，设Q（6，y₁，0），0≤y₁≤6；
∴（1）证明：若P是DD₁的中点，则P

；
∴

，

；
∴

；
∴AB₁⊥PQ；
（2）设P（0，y₂，z₂），y₂，z₂∈[0，6]，P在棱DD₁上；
∴

，0≤λ≤1；
∴（0，y₂﹣6，z₂）＝λ（0，﹣3，6）；
∴

；
∴z₂＝12﹣2y₂；
∴P（0，y₂，12﹣2y₂）；
∴

；
平面ABB₁A₁的一个法向量为

；
∵PQ∥平面ABB₁A₁；
∴

＝6（y₁﹣y₂）＝0；
∴y₁＝y₂；
∴Q（6，y₂，0）；
设平面PQD的法向量为

，则：

；
∴

，取z＝1，则

；
又平面AQD的一个法向量为

；
又二面角P﹣QD﹣A的余弦值为

；
∴

；
解得y₂＝4，或y₂＝8（舍去）；
∴P（0，4，4）；
∴三棱锥P﹣ADQ的高为4，且

；
∴V_{四面体ADPQ}＝V_{三棱锥P﹣ADQ}＝

．

[点评]

本题考查了"直线与平面垂直，二面角的平面角及求法，"，属于"易错题"，熟悉题型是解题的关键。

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考点说明

灰色代表去掉的考点，绿色代表未变动的考点，红色代表新增的考点

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

231752. （2014•师大附中•八模）如图，已知菱形ACSB中，∠ABS＝60°．沿着对角线SA将菱形ACSB折成三棱锥S﹣ABC，且在三棱锥S﹣ABC中，∠BAC＝90°，O为BC中点．
（Ⅰ）证明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）求平面ASC与平面SCB夹角的余弦值．

共享时间:2014-06-13 难度:2 相似度:2

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169569. （2024•师大附中•高二下期末）如图，在四棱台ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为平行四边形，∠BAD＝120°，侧棱AA₁⊥底面ABCD，M为棱CD上的点．AD＝A₁A＝2，A₁B₁＝DM＝1．
（1）求证：AM⊥A₁B；
（2）若M为CD的中点，N为棱DD₁上的点，且

，求平面A₁MN与平面A₁BD所成角的余弦值．

共享时间:2024-07-27 难度:2 相似度:2

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231963. （2025•西安八十三中•高二下一月）．在四棱锥P﹣ABCD中，点E是棱PA上一点，BE⊥PD，PA＝PB＝PD，

＝2，∠DAB＝60°．
（1）证明：PD⊥平面PAB；
（2）若CD∥AB，求二面角A﹣PD﹣C的正弦值．

共享时间:2025-04-16 难度:2 相似度:2

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233252. （2023•长安区一中•高二下二月）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，点B₁在底面ABC内的射影恰好是点C，点D是AC的中点，且DA＝DB．
（1）证明：AB⊥CC₁；
（2）已知AC＝4，BC＝2，直线BB₁与底面ABC所成角的大小为

，求二面角C﹣BD﹣C₁的大小．

共享时间:2023-06-26 难度:2 相似度:2

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167940. （2023•师大附中•三模）在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，

，M、N分别为AB、SB的中点．
（1）证明：AC⊥SB；
（2）求二面角N﹣CM﹣B正弦值的大小．

共享时间:2023-04-08 难度:2 相似度:2

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168250. （2021•西安中学•五模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥PC，AD∥BC，AD⊥CD，且PC＝BC＝2AD＝2CD＝2

，PA＝2．
（1）证明：PA⊥平面ABCD；
（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为60°？如果存在，求

的值；如果不存在，请说明理由．

共享时间:2021-05-01 难度:2 相似度:2

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168411. （2021•西安中学•十模）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB＝6，BC＝2

，AC＝2

，D，E分别为线段AB，BC上的点，且AD＝2DB，CE＝2EB，PD⊥AC．
（1）求证：PD⊥平面ABC；
（2）若PA与平面ABC所成的角为

，求平面PAC与平面PDE所成的锐二面角．

共享时间:2021-07-03 难度:2 相似度:2

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168641. （2021•西安中学•二模）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，底面ABC是边长为4的等边三角形，∠A₁AB＝∠A₁AC，D为BC的中点．
（1）证明：BC⊥平面A₁AD．
（2）若△A₁AD是等边三角形，求二面角D﹣AA₁﹣C的正弦值．

共享时间:2021-03-26 难度:2 相似度:2

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168779. （2021•西安中学•八模）如图，四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A₁O⊥平面ABCD，AB＝AA₁＝

．
（1）证明：A₁C⊥平面BB₁D₁D；
（2）求平面OCB₁与平面BB₁D₁D的夹角θ的大小．

共享时间:2021-06-19 难度:2 相似度:2

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168940. （2021•高陵一中•二模）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，底面ABC是边长为4的等边三角形，∠A₁AB＝∠A₁AC，D为BC的中点．
（1）证明：BC⊥平面A₁AD．
（2）若△A₁AD是等边三角形，求二面角D﹣AA₁﹣C的正弦值．

共享时间:2021-03-30 难度:2 相似度:2

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169008. （2020•西安中学•一模）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝AB＝2，BC＝3，∠ABC＝90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．
（1）求证：AB⊥PE；
（2）求二面角A﹣PB﹣E的大小．

共享时间:2020-03-12 难度:2 相似度:2

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169077. （2020•西工大附中•三模）如图，在多面体ABCDEF中，AB∥CD，AD⊥CD，CD＝2AB＝2AD，四边形ADEF是矩形，平面BDE⊥平面ABCD，AF＝λAD．
（1）证明：DE⊥平面ABCD；
（2）若二面角B﹣CF﹣D的正弦值为

，求λ的值．

共享时间:2020-04-06 难度:2 相似度:2

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169123. （2020•西工大附中•三模）已知一等腰梯形ABCD，如图（1）所示，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，沿AC将△ACD折起，使得平面ABC⊥平面ACD，如图（2）所示，连接BD，得三棱锥D﹣ABC．
（1）求证：图（2）中BC⊥平面ACD；
（2）求图（2）中的二面角A﹣BD﹣C的正弦值．