如图在中于点求外接圆半径的最小值学习小组经过研究给出模型分析如图作的外接圆连接作于设的半径为可得出由可得因此进而得出进一步得出结果外接圆半径的最小值为如图在四边形中求四边形

首页 > 试题列表 > 单题解析

211827. （2025•西工大附中•三模）（1）如图①，在△ABC中，CD⊥AB于点D，CD＝6，∠ACB＝60°，求△ABC外接圆半径的最小值．学习小组经过研究，给出模型分析：
如图②，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，作OE⊥AB于E，设⊙O的半径为r，可得出OC+OE≥CD，由∠ACB＝60°，可得∠OAB＝30°，因此

，进而得出

，进一步得出结果：△ABC外接圆半径的最小值为　　；
（2）如图③，在四边形ABCD中，∠BAD＝45°，∠BAD+∠BCD＝180°，CB＝CD，AC＝6，求四边形ABCD的面积；
（3）如图④，四边形ABCD是某小区内的一块空地，经测量，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝30m，现规划修两条小道CE、CF（E、F分别在边AB、AD上），将该四边形空地划分为三个不同的活动区域，其中四边形AECF作为健身活动区域．按照设计方案：既要使两条小道CE、CF的夹角为60°（∠ECF＝60°），同时也要使健身活动区域四边形AECF面积最大，请问此方案是否可行？若可行，求出此时这两条小道的总长（即CE+CF的值）；若不可行，请说明理由．

共享时间:2025-04-02 难度:1

纠错

下载

相似

组卷

[考点]

圆的综合题，

[答案]

（1）4；

（2）9

；

（3）存在．

．

[解析]

解：（1）如图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，作OE⊥AB于E，

设⊙O的半径为r，
∴OC+OE≥CD，
∵∠ACB＝60°，
∴∠OAB＝30°，
∴OE＝

OA＝

，
∵CD＝6，
∴r+

≥6，
∴r≥4，
∴△ABC外接圆半径的最小值为4；
故答案为：4；
（2）∵∠BAD＝45°，∠BAD+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝135°，∠D+∠ABC＝180°，
∵CB＝CD，
∴把△ACD绕点C逆时针旋转135°得到△A'CB，
∴∠D＝∠A′BC，AC＝A'C＝6，S_△ACD＝S_△A'CB，
∵∠D+∠ABC＝180°，∠A'BC+∠ABC＝180°，
∴A、B、A'三点共线，
∴S_{四边形ABCD}＝S_△ACD+S_△ACB＝S_△A'CB+S_△ACB＝S_△ACA'．
过A'作AE⊥AC于E，

∴∠A'CE＝45°，
∴

，
∴

；
（3）存在．
证明如下：连接AC，
∵∠B＝∠D＝90°，
∴∠B+∠D＝180°，CB⊥AB于B，CD⊥AD于D，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠BCD＝120°，
∵CB⊥AB于B，CD⊥AD于D，CB＝CD，

∴AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC＝30°，
∴CB＝CD＝30m，
∴

，
∴

，
∵CB＝CD，∠BCD＝120°，
∴把△CDF 绕点C逆时针旋转120°得到△CBF'，
∴∠D＝∠CBF'，CF＝CF'，S_△CDF＝S_△CBF，∠FCF'＝120°，
∵∠D+∠ABC＝180°，
∴∠CBF+∠ABC＝180°，
∴A、B、F'三点共线，
∴S_{四边形AECF}＝S_{四边形ABCD}﹣S_△CBE﹣S_△CDF＝S_{四边形ABCD}﹣S_△CBF'﹣S_△CBE＝S_{四边形ABCD}﹣S_△CEF'，
∵∠ECF＝60°，∠FCF'＝120°，
∴∠ECF'＝60°，
作△CEF′的外接圆⊙O，连接CO，过O作OG⊥AB于G，
设⊙O的半径为r，
∵OC+OG≥CB，
由∠ECF'＝60°，可得∠OF'G＝30°，
∴

，
∴

，
∴r≥20，
∴

，
∴S_{四边形AECF}＝S_{四边形ABCD}﹣S_△CEF'＝900

﹣15

＝900

﹣300

＝600

，
∴

，此时

，
此时，点C、O、G三点共线，
∴CG为EF'的中垂线，

∴CE＝CF′，
∵∠ECF'＝60°，
∴等边△CEF′，
∴

，
∴

，
∴存在两条小道CE、CF的夹角为60°（∠ECF＝60°），
同时健身活动区域四边形AECF面积最大，
此时

．

[点评]

本题考查了"圆的综合题，"，属于"基础题"，熟悉题型是解题的关键。

转载声明：

本题解析属于发布者收集录入，如涉及版权请向平台申诉！！版权申诉

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

212346. （2025•西安三中•二模）【问题提出】（1）如图1，点A是半径为6的⊙O上一点，l是⊙O外一条直线，过点A作AB⊥l，垂足为B，圆心O到直线l的距离为8，则线段AB的最大长度为　　；
【问题探究】（2）如图2，矩形ABCD的长AB＝8，宽BC＝6，以矩形ABCD的边AD为直径作半圆O，P为半圆O上一动点，求BP长度的最大值；
【问题解决】（3）农业观光园是集科技示范、旅游观光、科普教育以及休闲娱乐功能为一体的综合型园区，越来越受到人们的喜爱．如图3，某农业观光园中有一块三角形的蔬菜种植基地ABC．经测量，BC＝10

°，AB上方有一块空地（空地足够大），为了增加蔬菜种植基地的面积，管理员计划在AB上方确定一点M，将该蔬菜基地扩建为四边形AMBC，扩建后沿CM修一条小路，以便游客观赏．考虑观光园的整体布局，扩建部分△AMB需满足∠AMB＝60°．为容纳更多游客，要求小路CM的长度尽可能长，修建的观赏小路CM长度是否存在最大值？若存在，求出CM的最大长度；若不存在，请说明理由．

共享时间:2025-03-23 难度:1 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷

211306. （2025•西工大浐灞中学•四模）【问题提出】
（1）如图①，已知线段AB与直线l,在直线l上取一点P，过A，B两点，作⊙O使其与直线l相切．切点为P，在直线l上另取一点Q，连接AQ，BQ，请判断∠APB与∠AQB的大小关系，并说明理由；
【问题解决】
（2）如图②是部分足球场的示意图，AB是球门，一位足球左前锋球员在点P处接到球后，沿PQ方向带球跑动，准备在射线PQ上找一点M将足球射入球门AB，已知射门角∠AMB越大，足球越容易被踢进，测得AB=8米，DP=8米，BD=16米，∠ADC=90°，∠QPC=45°，若该球员想在射门角度最大时射门，请你帮球员找出射线PQ上点M的位置，并求出此时PM的长．
$德优题库$

共享时间:2025-04-17 难度:1 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷

210578. （2025•师大附中•三模） $德优题库$ 综合与实践
在初中数学的学习过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验．对“图形T到图形U的最近距离”进行研究．
定义：平面内，M为图形T上任意一点，N为图形U上任意一点，将M，N两点间距离的最小值称为图形T到图形U的最近距离，记作d（T-U）．
例如：在平面上有A、B两点，且AB=2，将点A记为图形T，点B记为图形U，则d（T-U）=AB=2．
数学理解：
（1）在平面内有A、B两点，将点A记为图形T，以点B为圆心，5为半径作⊙B，将⊙B记为图形U，若d（T-U）=2，则AB= ．
（2）在平面直角坐标系中，D，E两点的坐标分别为（5，5），（5，-5），将△DOE记为图形T；P的坐标为（t,0），⊙P的半径为2，将⊙P记为图形U，若d（T-U）=1，则t的值为．
推广运用：
（3）如图，正方形ABCD的边长为2，点E为其内一点，且点E与点B的距离为1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，将点A记为图形T，将满足条件的点F构成的图形记为图形U，求d（T-U）的值．

共享时间:2025-04-11 难度:1 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷

210734. （2025•雁塔区•三模）问题提出
（1）如图1，在半圆O中，直径AB＝8，C为

上一点，连接AC，CO，则△AOC的最大面积为．
问题探究
（2）如图2，在⊙O中，半径r＝6，

，M为BD上的一点，过点M作一直线AC，AC与BD的夹角成60°，即∠AMB＝60°），与⊙O分别交于A，C两点，求四边形ABCD的最大面积．
问题解决
（3）如图3，有一块半圆形的板材，工人师傅需要将板材进行切割．根据要求需要在半径OA上选取一点C，从点C沿着线段CE进行切割，CE与AB的夹角为45°（即∠ACE＝45°），然后在半径OB上选取一点D，从点D沿着线段DF进行切割，且DF与AB的夹角也为45°，即∠BDF＝45°，同时，在切割的过程中始终保持

所对的圆心角为135°，已知直径AB的长为80cm，记切割掉的图形ACE与图形BDF的面积之和为S，S是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2025-04-05 难度:1 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷

210760. （2025•曲江一中•五模）（1）如图①，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交成的锐角为60°．若AC=10，BD=8，求平行四边形ABCD的面积．
（2）如图②，是某公园的圆形空地，O为圆心，AB为⊙O直径，AB=200m,规划部门计划在空地内建一个牡丹园，根据设计要求：点D和点E，点G和点F分别关于AB对称，DF与GE交于点C，且DF⊥EG，四边形DEFG为牡丹园，设AC的长为x（m），牡丹园DEFG的面积为S（m²）．
①求S与x之间的函数关系式；
②已知种植牡丹园每平方米的费用为20元，政府预算为45万元，请通过计算说明政府的预算是否一定够用？
$德优题库$

共享时间:2025-05-12 难度:1 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷

210812. （2025•曲江一中•三模）【问题提出】
（1）如图1，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝12，点E为AD的中点，点P为矩形ABCD内以BC为直径的半圆上一点，则PE的最小值为　　；
【问题探究】
（2）如图2，在△ABC中，AD为BC边上的高，且AD＝BC＝4，P为△ABC内一点，当

时，求PB+PC的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，滨河学校餐厅门口有一块“疯狂四季”四边形菜园ABCD，∠ABC＝∠BAD＝60°，AC与BD相交于点P，且AD+BC＝AB，过点A作直线BC的垂线交直线BC于点E，即AE⊥BE，BE＝200

米，赵老师准备在△ABP内种植当季蔬菜，边BE的中点F为菜园出入口，为了种植方便，她打算在AE边上取点M，并沿PM、MF修两条人行走道，要求人行走道的总长度尽可能小，问PM+MF的长度是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2025-04-01 难度:1 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷

210864. （2025•曲江一中•四模）【问题提出】
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是边BC上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则EF的最小值为　　．
【问题探究】
（2）如图②，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝4，AC＝3

，点D是BC边上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，⊙O是四边形AEDF的外接圆，求⊙O直径的最小值．
【问题解决】
（3）某小区内有一块形状为四边形的空地，如图③所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，∠B＝60°，AD＝200

米，AB＝400

米，点E在CD上，且CE＝2DE，F、G分别是边AB、BC上的两个动点，且∠FEG＝60°．为了改善人居环境，小区物业准备在尽可能大的四边形BFEG区域内种植花卉，请问这个四边形BFEG区域的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2025-04-30 难度:1 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷

210968. （2025•高新一中•五模）【问题提出】
（1）如图①，在△ABC中，AB=6，C是⊙O上任意一点，若⊙O的半径为2，点O到AB的距离为5，则△ABC面积的最小值为；
【问题解决】
（2）如图②，四边形ABCD是一块平行四边形空地，经测量AB=300m,BC=600m,∠BAD=120°．为了打造特色景观，规划部门设计在四边形ABCD内一点M处建一座凉亭，凉亭四周修建四条观赏步道（步道宽度忽略不计），分别为AM，BM，CM，DM，且∠ABM=∠MCB．步道将空地分为四个区域，计划种植不同的花卉，其中△AMD区域种植牡丹，为节约成本，要求△AMD面积尽可能的小．请问：是否存在符合要求的三角形区域？若存在，求出△AMD面积的最小值；若不存在，请说明理由．
$德优题库$

共享时间:2025-05-12 难度:1 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷

210994. （2025•高新一中•四模）【问题提出】
（1）如图①，在△ABC中，∠ACB=60°，AB=4，点O是△ABC外接圆的圆心，则△ABC面积的最大值是；
【问题解决】
（2）如图②所示，道路AB的一侧有一块闲置地，当地政府为提高辖区生态环境水平，改善居民生活质量，现规划建设一个五边形的公园ABCDE，根据设计要求：∠DAB=∠BCD=60°，∠AED=120°，AD，BD为公园内的两条步行直道，BD=800m,M为BD的中点．设计师还需在BC上选取一点F，经过点M修建一条步行直道EF，在四边形ABCD面积最大的前提下，EF平分五边形ABCDE的面积．请问：是否存在满足设计要求的点E和点F？若存在，求出此时EF的长度；若不存在，请说明理由．（点A，B，C，D，E，M，F在同一平面内，直道AD，BD，EF的宽度均忽略不计，结果保留根号）
$德优题库$

共享时间:2025-04-24 难度:1 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷

211098. （2025•唐南中学•三模）问题提出
（1）如图①，△ABC内接于⊙O，过点C作⊙O的切线l,在l上任取一点P，连接BP，AP，则∠BCA ∠BPA．（填写“＞”“＜”或“=”）
问题探究
（2）如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12，在边AD上，是否存在一点P，使得sin∠BPC的值最大？若存在，求出此时sin∠BPC的值；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）如图③，有一长为2米的移动粑AB从地面上的点O处沿45°方向飞行，在距点O．水平方向60米的M处上方，建有一射击台点P（设计台的大小忽略不计），MP=4米，当∠APB最大时更容易击中靶子，请求出此时的AO长及sin∠APB的值．
$德优题库$

共享时间:2025-04-02 难度:1 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷

211150. （2025•阎良区•一模）【问题提出】
（1）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝95°，则∠D的度数为　　 °；
【问题探究】
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝23，BC＝30，点P在边AD上，且AP＞DP，连接BP、CP，tan∠BPC＝

，求PC的长；
【问题解决】
（3）2025年3月9日，国家卫生健康委员会相关负责人在十四届全国人大三次会议民生主题记者会上表示，实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式，加强慢性病防治．某市为积极响应国家号召，拟开设一所健康管理中心，其设计示意图如图3所示，在四边形ABCD中，对角线AC为一条走廊，在边AB和走廊AC上分别取点F、E，连接DF交AC于点P，并规划△PEF区域为咨询中心，△PDE区域为评估中心，其他区域为实训中心．根据设计要求，点D到AC的距离为70米，tan∠BAC＝

，点A、D、E、F在同一个圆的圆周上，评估中心（△PDE）的面积为2800平方米，请你求出评估中心（△PDE）的周长．

共享时间:2025-03-06 难度:1 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷

211200. （2025•阎良区•二模） $德优题库$ 如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，点P是⊙O上一点，过点P作⊙O的切线PE交AC的延长线于点E，过点P作PD⊥AC于点D，交BC于点F，∠B=∠DPE．
（1）求证：BC∥PE；
（2）若⊙O的半径是3，OF=1，求DF的长．

共享时间:2025-03-18 难度:1 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷

211280. （2025•西咸新区•一模）问题提出
（1）如图1，点C为线段AB上方的动点，连接AC、BC，满足∠ACB=90°，若AB=8，则点C到AB的最大距离为；
（2）如图2，在四边形ABCD中，连接AC，AB=AC=AD，若∠BAD=130°，求∠BCD的度数；
问题解决
（3）某科技公司现有一块形如四边形ABCD的研发基地，其大致示意图如图3所示，其中∠ABC=∠BAD=90°，AB=AD=400m,BC=600m.为了响应国家“科教兴国”战略，现需要扩大基地面积．扩建方案如下：E为BC边上的动点（不与端点重合），连接AE，点B关于AE的对称点为B′，连接DB′并延长，交AE延长线于点F，连接BF、CF，将△BCF区域修建成新能源研发区．为保证研发效果，要使研发区（即△BCF）的面积尽可能的大，请问△BCF的面积是否存在最大值？若存在，请求出△BCF的最大值；若不存在，请说明理由．
$德优题库$

共享时间:2025-03-04 难度:1 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷

211332. （2025•未央区•一模）【问题提出】
（1）如图①，⊙O的半径为3，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°．
①AB的长为　　；
②求△ABC面积的最大值；
【问题解决】
（2）如图②，某公园中有一块三角形空地DEF，经测量∠D＝45°，∠E＝75°，DF＝40

米．计划对该空地进行重新规划利用，在线段DE，EF，DF上分别取点G，H，I，沿GH，GI修两条具有观赏价值的休闲通道（通道的宽度忽略不计），其余空地种植花草．根据设计要求，GH⊥EF，GI⊥DF，要保证施工的安全性，需要将点H，I用围栏围起来，形成一个封闭的施工场地四边形DEHI，采购部现要购买围栏，为了节约成本，要使围栏HI的长度尽可能短，求满足要求的围栏HI长度的最小值．