问题提出如图在中是边上的中点点分别是上的动点则的最小值是问题解决如图某大型工厂生产区域内有一个矩形场地其中点为原材料入口修建在段的点为成品出口在生产区域内有两处重要的生产加工点和分别位于场地的段并且为了实现从生产加工点到成品出口的高效运输即成品从生产加工点经质检区域输送到出口的过程更为高效工厂规划修建一个调度中心与一处位于段的半

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211020. （2025•高新一中•七模）【问题提出】
如图①，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=4，E是AB边上的中点，点P，Q分别是BC，AC上的动点，则EP+PQ的最小值是；
【问题解决】
如图②，某大型工厂生产区域内，有一个矩形场地ABCD，其中点D为原材料入口，修建在DC段的点G为成品出口．在生产区域内，有两处重要的生产加工点E和F，分别位于场地的DA，DB段，并且DE=DF．为了实现从生产加工点到成品出口的高效运输（即成品从生产加工点经质检区域输送到出口的过程更为高效），工厂规划修建一个调度中心P与一处位于BC段的半圆形自动化质检区域（圆心为O）．该调度中心需同时满足以下两个条件：①使P到生产加工点E，F的距离相等，即PE=PF；②使运输线路PM+NG的长度最短（其中M，N为半圆质检区域O上的任意两点）．已知AD=300米，AB=400米，CG=100米，质检区域半径r=20米．请问是否存在符合要求的调度中心点P，若存在，求出PM+NG的最小值和此时OC的距离；若不存在，请说明理由．
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[考点]

四边形综合题，

[答案]

（1）

；

（2）PM+NG的最小值为

米，此时OC的距离为50米．

[解析]

解：（1）如图所示，作点E关于BC的对称点H，连接PH，

∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，E是AB边上的中点，
∴AE＝BE＝

AB＝2，∠A＝∠C＝45°，
由轴对称的性质可得EP＝HP，EB＝BH＝2，
∴PE+PQ＝PH+PQ，
∴当H、P、Q三点共线，且HQ⊥AC时，PH+PQ有最小值，即此时PE+PQ有最小值，最小值为HQ的长，
在Rt△AHQ中，

，
∴PE+PQ的最小值为

，
故答案为：

；
（2）∵PE＝PF，
∴点P在线段EF的垂直平分线上，
∵DE＝DF，
∴点D在线段EF的垂直平分线上，
∴DP垂直平分EF，
∴点P在∠ADB的角平分线上，
如图所示，作∠ADB的角平分线交AB于H，作点G关于BC的对称点G'，作G'P⊥DH交BC于O'，此时PM+NG有最小值，理由如下：
∵PM+GN＝PO+OG﹣2r＝PO+OG﹣40，
∴当PO+OG最小时，PM+GN最小，
由轴对称的性质可得G'O＝OG，
则PO+OG＝PO+OG'，故当P、O、G'三点共线且G'P⊥DH时，PO+OG'有最小值，即此时PO+OG有最小值，最小值为线段PG'的长；
在Rt△ABD中，由勾股定理得

长；
如图所示，连接HG'，过点H作HA'⊥BD于A'，
∴AH＝A'H，
∵S_△ABD＝S_△ADH+S_△BDH，
∴

，
∴AH＝A'H＝150米，
∴

，
∵

，
∴

米；
在Rt△G'PD中，由勾股定理得

；
∵

，
∴

，
∴O'C＝50米；
综上所述，PM+NG的最小值为

米，此时OC的距离为50米．

[点评]

本题考查了"四边形综合题，"，属于"基础题"，熟悉题型是解题的关键。

转载声明：

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

173602. （2024•铁一中学•九上二月）（1）如图①，在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝6，点P是矩形ABCD内部一点，且满足∠BPC＝90°，则点P到AD的最小距离为　2　；
（2）如图②，在▱ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，作AF⊥DC于点F，过点B作BG⊥CD于点G，若四边形ABGF的面积为8，AE＝2，求AD的长；
（3）如图③，小明家有一个边长为10米的正方形空地EFGH，点A为HE边上一点且AE＝4米，小明计划在EF边上任取一点B，以AB为边在AB上方修建一个面积为16平方米的矩形草莓种植大棚（即ABCD为矩形且面积为16平方米），同时计划利用△DHG区域种植葡萄，剩下区域栽种花卉和草坪，由于近几年葡萄的销量不好，所以小明计划在不改变草莓种植面积的条件下，减少葡萄种植区域的面积，请你帮助小明计算出当葡萄种植区域面积最小时BE的长为多少．

共享时间:2024-12-20 难度:1 相似度:2

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173290. （2024•西光中学•八上二月）【问题情境】
（1）如图1，把一块三角板（AB＝BC，∠ABC＝90° ）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知∠D＝∠E＝90°，在滑动过程中，线段AD与BE的数量关系为　AD＝BE　．
【变式探究】
（2）如图2，在四边形ABCD中，点M是线段BC上一点，且满足∠B＝∠AMD，MA＝MD，BC＝BA+BM，试说明BM＝CD；
（3）如图3，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝45°，点D、F分别是边BC、AB上的动点，且BF+BD＝CD．以DF为腰向右作等腰△DEE，使得DE＝DF，∠EDF＝45°，连接CE，求∠ACE的度数．

共享时间:2024-12-17 难度:1 相似度:2

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61390. （2023•爱知中学•七上期末）如图，已知△ABC中，∠B=90°，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△DEF，其中点A、点B、点C的对应点分别是点D、点E、点F，且CE=DE．
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（1）如图①，如果AB=6，BC=3，那么平移的距离等于；（请直接写出答案）
（2）如图②，将△DEF绕着点E逆时针旋转90°得到△CEG，连接AG，如果AB=a,BC=b,求△ACG的面积；
（3）如图③，在（2）题的条件下，分别以AB，BC为边向外作正方形，正方形的面积分别记为S₁，S₂，且满足S₁-S₂=16，如果平移的距离等于8，求出△ACG的面积．

共享时间:2023-02-19 难度:1 相似度:2

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172516. （2024•师大附中•九上二月）问题提出
（1）如图①，在Rt△ABC中，AB＝BC，点D、E、F分别在△ABC的三边上．若四边形BEDF为正方形，AB＝4，则DE＝　2　．

问题探究
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，正方形DEFG和正方形FHIJ在△ABC内部，点D在边AB上，点I在边AC上，点E、F、J在边BC上，若AB＝5，BE＝

IJ，求正方形FHIJ的边长．
问题解决
（3）如图③，是某种植户的一处近似等边三角形的空闲农田，为了赶上6月份水稻的种植，该种植户要在此处规划出两块正方形水稻田，其余地方用于修建鱼塘养鱼．已知在等边△ABC中，

，正方形DEFG和正方形FHIJ的点E、F、J依次为边BC上的点，点D和点I分别在边AB，AC上，记正方形DEFG的面积为S₁，正方形FHIJ的面积为S₂，若S＝S₁+S₂，求S的最大值．

共享时间:2024-12-22 难度:1 相似度:2

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172541. （2024•师大附中•九上一月）已知：正方形ABCD与正方形CEGF共顶点C．连CG，CA．
（1）探究：如图1，点E在正方形ABCD的边BC上，点F在正方形ABCD的边CD上，连接AG．则AG与BE间的数量关系是：AG＝　

　BE．
（2）拓展：将如图2中正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜a＜45°），图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
（3）运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图3所示，延长CG交AD于点H．若

，则BC＝　3

　．

共享时间:2024-10-21 难度:1 相似度:2

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27864. （2023•爱知中学•九上期末）【问题探究】
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=4，点E、F分别为边AD、BC上的点，且AE=1，BF=2，P为边AB上一动点，连接EP、PF，则EP+PF的最小值为．
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，点E、F分别在边AD和BC上，连接AC，EF⊥AC于M，求EF的长．
【问题解决】
（3）某市进行绿化改造，美化生态环境．如图3，将一块四边形的空地ABCD改造成了供市民休闲锻炼的公园．已知：在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，tan∠CDA=2，BC=60米，AB=110米，在公园的AD边上有一个出口M，经测量MD=2MA，为了方便市民，现计划在公园的AB边和CD边上分别建一个休息亭F和E，然后铺设观景道BE、EF、FM，并且EF⊥BM，若要使这三条观景道的距离和最小（即BE+EF+FM最小），请求出休息亭F距离点A多远？并求出BE+EF+FM的最小值．（小路面积忽略不计，结果保留根号）
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共享时间:2024-01-30 难度:1 相似度:2

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172692. （2024•长安区•八上一月）【定义】我们定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．
【感知】（1）若△ABC三边长分别是2，2

和

，判断此三角形是否奇异三角形，说明理由；
【思考】已知Rt△ABC中，两边长分别是5，5

，若这个三角形是奇异三角形，则第三边长是　5

　；
【运用】若Rt△ABC是奇异三角形，直角边为a、b（a＜b），斜边为c，求a：b：c的值．（比值从小到大排列）
【创新】如图，以AB为斜边分别在AB的两侧作直角三角形，且AD＝BD，若四边形ADBC内存在点E，使得AE＝AD，CB＝CE．试说明：△ACE是奇异三角形．

共享时间:2024-10-19 难度:1 相似度:2

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172793. （2024•曲江一中•九上一月）（1）如图1，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE=2，则AE的长为；
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（2）如图2，在一块斜边长为35厘米的直角三角形木板（即Rt△ABC）中截取一个正方形CDEF，点D在边AC上，点E在边AB上，点F在边BC上，若AE=15，求这块木板截取正方形CDEF后剩余部分的面积；
（3）如图3，某施工队要给一片四边形土地播撒绿植，每平米绿植100元．已知在四边形土地ABCD中，AD=40m,CD=30m,∠ABC+∠ADC=90°，若△ABC为等边三角形，求播撒这片四边形土地ABCD共需要多少钱？

共享时间:2024-10-11 难度:1 相似度:2

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172869. （2024•逸翠园中学•九上四月）若一条直线把一个平面图形分成面积相等的两部分，那么这条直线叫做该平面图形的“和谐线”，其“和谐线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“和谐线段”（例如圆的直径就是圆的“和谐线段”）
问题探究：
（1）如图①，已知△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，请写出△ABC的两条“和谐线段”的长．
（2）如图②，平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，请直接写出该平行四边形ABCD的“和谐线段”长的最大值和最小值；
问题解决
（3）如图③，四边形ABCD是某市规划中的商业区示意图，其中AB＝2，CD＝10，∠A＝135°，∠B＝90°，tanC＝

，现计划在商业区内修一条笔直的单行道MN（小道的宽度不计），入口M在BC上，出口N在CD上，使得MN为四边形ABCD“和谐线段”，在道路一侧△MNC区域规划为公园，为了美观要求△MNC是以CM为腰的等腰三角形，请通过计算说明设计师的想法能否实现？若可以，请确定点M的位置（即求CM的长）．

共享时间:2024-01-28 难度:1 相似度:2

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173214. （2024•西光中学•九上二月）【初步探究】
（1）如图1，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，连接DE、EF．已知四边形BFED是平行四边形，BC＝4DE．
①若AB＝8，求线段AD的长；
②若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
【深入探究】
（2）如图2，某工厂有一块形如四边形ABCD的铁皮，其中∠A＝∠B＝90°，AD＝8dm，AB＝20dm，BC＝24dm．为节约资源，现要从这块铁皮上截取矩形铁皮BEFG（阴影部分）备用，点E、F、G分别在AB、CD、BC上．设矩形铁皮的边FG＝x（dm），矩形BEFG的面积为S，求出S与x之间的函数关系式，并求矩形BEFG面积的最大值．

共享时间:2024-12-10 难度:1 相似度:2

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172565. （2024•师大附中•八上二月）如图，四边形OABC是一张长方形纸片，将其放在平面直角坐标系中，使得点O与坐标原点重合，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（16，24），D的坐标为（10，24）．现将纸片沿过D点的直线折叠，使顶点C落在线段AB上的点F处，折痕与y轴的交点记为E．
（1）求点F的坐标；
（2）在x轴上是否存在点Q，满足S_△QDE=S_△CDE，若存在，求出点Q坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点P在直线DE上，且△PAE为直角三角形，请直接写出点P的坐标． $德优题库$

共享时间:2024-12-11 难度:1 相似度:2

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61343. （2023•爱知中学•九上期末）（1）如图1，AD∥BC，连接AB、AC、BD、CD，则S_△ABC S_△BCD．
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC=45°，BC=6，求△ABC的最大面积．
（3）如图3，西安市规划局计划打造一片公共休闲区域（即四边形ABCD），准备在△ABC中种植绿植，同时以AC为边在它的左侧打造一个等边三角形的花卉园（即△ACD），要求∠A=60°，BC=600m,且使四边形ABCD的面积最大，请问是否存在满足要求的四边形ABCD，如果存在，求出四边形ABCD面积的最大值，如果不存在，请说明理由．
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共享时间:2023-03-02 难度:1 相似度:2

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173533. （2024•铁一中学•九上一月）．如图1，在四边形ABCD中，如果对角线AC和BD相等，那么我们把这样的四边形称为“和谐四边形”．
问题提出
（1）在“平行四边形、矩形、菱形“中，一定是“和谐四边形”的是　矩形　（填写图形名称）；若“和谐四边形”ABCD的中点四边形MNPQ是正方形，那么对角线AC、BD还需要满足的条件是　AC⊥BD　．
问题探究
（2）如图2，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，请你在图中找一点D，满足AD＝BD，且使四边形ABCD是“和谐四边形”，并求四边形ABCD的面积；
问题解决
（3）如图3，已知四边形ABCD中，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝90°，F是边AB的中点，在四边形内部有一点G，满足FG＝

，连接BG，将BG绕点B逆时针旋转90°至BE．连接DE，若四边形ABED是“和谐四边形”，求四边形ABED面积的最大值，并说明理由．

共享时间:2024-10-10 难度:1 相似度:2

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1052. （2019•陕西省•真题）问题提出：
（1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；
问题探究：
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，求满足条件的点P到点A的距离；
问题解决：
（3）如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE＝120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计）

共享时间:2019-07-05 难度:5 相似度:2

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882. （2013•陕西省•真题）问题探究：
（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；
（2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M）使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由．
问题解决：
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？如若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由．

共享时间:2013-11-18 难度:3 相似度:2

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2025-06-08

初中数学 | | 解答题

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