问题提出如图在中点在上且点是的中点求四边形的面积结果保留根号问题解决某地进行河滩治理美化人居生态环境如图所示现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形河畔公园按设计要求要在五边形河畔公园内挖一个四边形人工湖使点分别在边上且满足已知五边形中

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173820. （2024•高新一中•九上三月）问题提出：
（1）如图①，在▱ABCD中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6，点E在AD上，且AE＝4，点F是CD的中点，求四边形BCFE的面积．（结果保留根号）
问题解决：
（2）某地进行河滩治理，美化人居生态环境．如图②所示，现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形河畔公园ABCDE．按设计要求，要在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN，使点O、P、M、N分别在边AB、BC、CD、AE上，且满足BO＝2AN＝2CP，AO＝CM．已知五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝1800m，BC＝1200m，AE＝900m，CD＝1300m．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖OPMN的面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN？若存在，求出四边形OPMN面积的最小值以及这时点N到点A的距离；若不存在，请说明理由．

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[考点]

四边形综合题，

[答案]

（1）14

；

（2）存在，符合设计要求的四边形OPMN面积的最小值为7537500平方米，此时，点N到点A的距离为525米．

[解析]

解：（1）如图1，过点C作CH⊥AD交AD的延长线于H，过点E作EG⊥AH于G，
∴∠H＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝8，AB∥CD，
∴∠CDH＝∠BAD＝60°，
在Rt△CDH中，CD＝8，
∴CH＝CD•sin∠BCD＝8×sin60°＝4

，
∵点F是CD的中点，
∴DF＝

CD＝4，
同理FG＝2

，
∵AE＝4，
∴DE＝2，
∴S_{四边形BCFE}＝S_▱ABCD﹣S_△DEF﹣S_△BEA＝6×4

﹣

×4×4

﹣

×2×2

＝14

；
（2）存在，如图2，分别延长AE与CD交于点K，则四边形ABCK是矩形，

∴AK＝BC＝1200米，AB＝CK＝1800米，
设CP＝x米，则AN＝x米，BO＝2x米，BP＝（1200﹣x）米，CM＝OA＝（1800﹣2x）米，
∴MK＝CK﹣CM＝1800﹣（1800﹣2x）＝2x米，NK＝AK﹣AN＝（900﹣x）米，
∴S_{四边形OPMN}＝S_矩形ABCK﹣S_△CMP﹣S_△AON﹣S_△OBP﹣S_△MNK
＝1800×1200﹣

x（1800﹣2x）﹣

×2x（1200﹣x）﹣

2x（1200﹣x）
＝4（x﹣525）²+7537500，
∴当x＝525时，S_{四边形OPMN最小}＝7537500（平方米），
AN＝525＜900，CM＝OA＝1800﹣2x＝1050＜1300，
∴符合设计要求的四边形OPMN面积的最小值为7537500平方米，此时，点N到点A的距离为525米．

[点评]

本题考查了"四边形综合题，"，属于"基础题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

193010. （2023•西安二十三中•九上二月）如图1，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．
（1）将▱ABCD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作形成的折痕分别是线段，；S_矩形AEFG：S_▱ABCD= ．
（2）平行四边形ABCD纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF=5，EH=12，求AD的长．
（3）如图4，四边形ABCD纸片满足AD∥BC，AD＜BC，AB⊥BC，AB=8，CD=10，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD、BC的长．
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共享时间:2023-12-22 难度:1 相似度:2

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179906. （2024•爱知中学•八下期中）综合应用
综合与实践数学活动课上，王老师给出了一个问题：
（1）如图1，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转30°，得到Rt△A′B′C′，点B′恰好落在斜边AC上，连接AA′，则∠AA′B′＝　　．

（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E在BC边上，BD＝2，CE＝3，且∠DAE＝45°，请你求出DE的长度．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝6，CD＝10，CF＝5，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，求线段BE的长．

共享时间:2024-05-12 难度:1 相似度:2

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181469. （2024•铁一中学•七下二月）【初步探究】
（1）如图1，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD、CE．
①由题中条件判断BD与CE的数量关系：BD CE；
②BD与EC是否存在特殊的位置关系？请你证明．
【灵活运用】
（2）将△ADE绕点A旋转至如图2所示位置，连接BD、CE．在（1）中的结论下，若AB=3，AE=5，四边形BCDE的面积存在最大值吗？若存在，求出这个值；若不存在，说明理由．
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共享时间:2024-06-19 难度:1 相似度:2

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181373. （2024•经开一中•八下一月） $德优题库$ 新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”．
（1）如图1，若四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=65°，∠B=80°，则∠C的度数为 °．
（2）如图2，“等对角四边形”ABCD，已知：∠ABC=∠ADC，BC=CD，你认为AB=AD成立吗？若成立，请你证明此结论，若不成立，请说明理由．
（3）在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=7，AD=5．求对角线AC的长．

共享时间:2024-04-18 难度:1 相似度:2

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181324. （2024•未央区•七下二月）问题提出
（1）如图1，在△ABC中，已知BC=6，P为边BC上一动点，S_△ABC=6，则AP的最小值为．
问题探究
（2）小哲同学喜欢探究生活中的数学问题，学习完轴对称的知识以后，他将一张正方形纸片沿着对角线对折，根据轴对称图形的定义来判断，得到结论：正方形是轴对称图形，对角线所在的直线是正方形的一条对称轴．他尝试利用这一结论解决问题；如图2，正方形ABCD的边长为4，E为DC的中点，P为对角线BD上的动点，F为BC上的动点，请求出PE+PF的最小值．请你解决小哲提出的问题．
问题解决
（3）如图3，这是某公园的一块四边形市民健身场地ABCD，公园管理部门在△ACD内规划设置体育锻炼区域，在△ABC内设置合唱团训练区域，在BD处修建养生小路，要求BD尽可能的长，其中AB=10m,BC=16m,AD=AC，∠CAD=60°．已知铺设小路 BD的费用是每米1600元，请你计算铺设小路的费用最多需要花费多少钱．
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共享时间:2024-06-18 难度:1 相似度:2

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181186. （2023•爱知中学•九上四月）（1）如图1，∠ABC＝90°，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为E、F，AE＝4，BE＝2，BF＝3，求CF的长度为　　．
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，点E、F、M分别在AB、BC、AD上，∠EMF＝90°，AM＝2，当BE+BF＝9时，求四边形MEBF的面积．
（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，BC＝20，点E、F分别在边AB、BC上，∠CEF＝α且

，若BF＝8，求BE的长度．

共享时间:2023-01-10 难度:1 相似度:2

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181160. （2023•爱知中学•月考）【问题探究】
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=4，点E、F分别为边AD、BC上的点，且AE=1，BF=2，P为边AB上一动点，连接EP、PF，则EP+PF的最小值为．
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，点E、F分别在边AD和BC上，连接AC，EF⊥AC于M，求EF的长．
【问题解决】
（3）某市进行绿化改造，美化生态环境．如图3，将一块四边形的空地ABCD改造成了供市民休闲锻炼的公园．已知：在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，tan∠CDA=2，BC=60米，AB=110米，在公园的AD边上有一个出口M，经测量MD=2MA，为了方便市民，现计划在公园的AB边和CD边上分别建一个休息亭F和E，然后铺设观景道BE、EF、FM，并且EF⊥BM，若要使这三条观景道的距离和最小（即BE+EF+FM最小），请求出休息亭F距离点A多远？并求出BE+EF+FM的最小值．（小路面积忽略不计，结果保留根号）
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共享时间:2022-12-01 难度:1 相似度:2

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181134. （2024•爱知中学•月考）问题提出：
（1）如图1，在一间黑暗的屋子里用一盏白炽灯照射正下方如图所示的球．已知球到灯和到地面的距离相等，且球的直径是40cm即AB＝40cm，则这个球在地面上的影子的面积是　　．（结果保留π）
问题探究：
（2）将两个全等的等腰直角三角形摆成如图2所示的样子（图中所有点、线都在同一平面内，点F、G在BC边上），若AC＝4，求FG的最小值，并证明你的结论．（结果保留根号）
问题解决：
（3）某地质勘察队，为了进行资源勘测，建立了一个四边形野外勘察基地ABCD，如图3所示，现在此勘察基地铺设了两条道路，DE，AC，并使得∠AFE＝∠ADC且CA⊥BA，现测得

米，CF＝AB＝600米，

，根据工作需要在点A处安装了一个可转动的照明灯，照明灯的两边缘光线夹角不变且与BC分别交于点G、H（受实际因素影响点G、H始终在BC边上），经过测量，∠B与∠GAH恰好互余，为了尽快完成勘察工作，勘察队需要夜间工作，那么夜间工作时，整个基地未被灯光A照到的盲区部分面积是否存在最大值？若存在，请求出最大面积是多少，如果不存在，请说明理由．

共享时间:2023-12-01 难度:1 相似度:2

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180297. （2023•逸翠园中学•八上二月）若一条直线把一个平面图形分成面积相等的两部分，那么这条直线叫做该平面图形的“和谐线”，其中“和谐线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“和谐线段”．
问题探究：

（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC，画出经过点A的△ABC的“和谐线段”；
（2）如图②，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，请求出分别经过A点，C点的△ABC的两条“和谐线段”的长；
问题解决：
（3）如图③，四边形ABCD是某市规划中的商业区示意图．其中∠B＝∠D＝90°，∠A＝120°，AB＝2，CD＝10，现计划在商业区内修一条笔直的单行道MN（小道的宽度不计），入口M在BC上，出口N在CD上，使得MN为四边形ABCD的“和谐线段”，在道路一侧△MNC区域规划为公园，为了美观要求△MNC是以CM为腰的等腰三角形，请通过计算说明设计师的想法能否实现？若可以，请确定点M的位置（即求CM的长）．

共享时间:2023-12-10 难度:1 相似度:2

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180248. （2023•航天中学•八上二月）（1）如图1，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，AD，CD，BC边上的动点，连接EG，HF相交于点P．且∠EPH＝∠A．
①填空：

＝　　．
②如图2，当四边形ABCD为长方形，AB＝4，BC＝6时，求

的值．
（2）如图3，这是某城市中央公园的设计示意图，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝0.8km，AD＝1km．公园设计师计划在公园内修建两条观光小路EG，FH（小路宽度不计，点E，F，G，H分别在AB，AD，CD，BC边上），根据实际需要，∠EPH＝∠A．若先修好的观光小路EG长为1.1km，则另一条观光小路FH多长？

共享时间:2023-12-26 难度:1 相似度:2

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179977. （2024•航天中学•七下期中）【问题背景】
（1）如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：①线段AD，BE之间的数量关系为；②∠AEB的度数为；
【问题探索】
（2）如图2，△ACB为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点D为边AB上一点，以CD为边作等腰直角三角形DCE，且∠DCE=90°，连接BE，若AD=2，BD=5，求△BDE的面积；
【问题解决】
（3）为了开展劳动实践教育，培养科学素养，实现多维学科融合．某校规划了一块如图3所示的四边形生物科学基地ABDC，经测量：∠ABC=90°，AB=BC，∠BDC=45°．连接AD，将基地分成两部分种植不同的植物，若△ACD的面积为8平方米，则线段CD的长度为多少？
$德优题库$

共享时间:2024-05-24 难度:1 相似度:2

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179882. （2024•爱知中学•七下期中）阅读下面一代文字，结合文字完成问题．
数学家华罗庚说：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”“数”与“形”反映了事物的两方面．数形结合就是把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来，使复杂问题简单化．抽象问题具体化．
$德优题库$
观察上面拼图过程，计算图形面积写出相应等式
（2）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，点B，C，D在同一直线上，BD=a,翻折△DEC，得到如图2，点B，D，C在同一直线上，此时BD=b,计算梯形ABDE的面积S（S用含a,b的代数式表示）
$德优题库$
（3）如图3，某小区物业公司计划在小区绿化带的外部四个半圆里种植鲜花，内部直角梯形里铺草坪，直角梯形．ABDE中∠ABC=90°，△ABC≌△CDE，若外部四个半圆中鲜花种植总面积为25πa,△ABC中草坪铺设面积为24a,假设鲜花种植和草坪铺设密度不变，请你帮物业公司计算总共的草坪铺设面积是多少？小明在计算中发现AC²与AB²，BC²间存在某种数量关系，请计算AC²，写出小明“发现”的具体过程和它们之间的数量关系．

共享时间:2024-05-28 难度:1 相似度:2

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181543. （2023•曲江一中•九上一月）问题提出
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．请在△ABC内画一个正方形，使得这个正方形一个内角为∠C，其余顶点落在△ABC的边上；
问题探究
（2）如图，△ABC为一块锐角三角形木板，其中BC＝10，S_△ABC＝25．
如图2，若要在△ABC中做出一个正方形，使正方形边落在BC上，另外两个顶点分别落在AB，AC上，则该正方形的面积为　　．
如图3，若要在△ABC中做出一个平行四边形，使平行四边形一边EF落在BC上，另两顶点落在AB，AC上，请求出满足条件的平行四边形面积的最大值．
问题解决
（3）如图4有一四边形ABCD，AC与BD交于O，AC＝10，BD＝20，∠AOB＝60°，现要在ABCD中截出平行四边形EFGH，使得平行四边形一边EF与BD平行，四个顶点E，F，G，H落在ABCD的四边上，当S_▱EFGH＝

S_{四边形ABCD}时EF＝　　．

共享时间:2023-10-14 难度:1 相似度:2

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179834. （2025•西安八十三中•八下期中）【小试牛刀】
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠D＝30°，∠BAD+∠BCD＝　　；
【深入探究】
（2）在（1）的条件下，若

，CD＝2，连接BD，求出BD的长度；
爱思考的小李同学将△ABD绕点B顺时针旋转60°至△CBD′，将BD进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算．
【学以致用】
（3）如图2，已知在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝30°，AB＝AD，

，连接AC，线段AC的长是否存在最小值，若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2025-05-13 难度:1 相似度:2

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179784. （2025•交大附中•七下期中）在本学期的数学探究学习中，同学们发现在利用全等三角形解决问题时存在有一些条件缺失（隐蔽）的问题，这时我们就要寻找题目中的等量条件，适当添加辅助线构造全等三角形来解决问题．如：“中点”、“角平分线”、相等的边或角等都可以成为我们构造全等三角形的条件．
【阅读理解】
（1）如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，试探究AC、AB、AD的数量关系．
小明在班内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，则得到△ADC≌△EDB，他所用到的判定定理是　　（用字母表示），从而得出BE＝AC．这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形的三边关系，即可得AC+AB 　　 2AD．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【问题解决】
（2）如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在CD上，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，求证：AD+BC＝AB．
【应用提升】
（3）如图3，四边形ABCD中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AM⊥CD，

，若△ACD面积为21，求△BCD的面积．

共享时间:2025-05-12 难度:1 相似度:2

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dyczsxyn

2024-01-25

初中数学 | 九年级上 | 解答题

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2024-2025学年陕西省西安市高新一中九年级（上）月考数学试卷（三）

更新:2024-01-25 06:09浏览量:18

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