如图等边内有一点若求的大小提示将绕顶点旋转到处如图已知在中为上的点且求证如图点分别为三处村庄在点处有一个加油站已知经测量求加油站到三个村庄距离之和即的值

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199093. （2022•曲江一中•八下期中）（1）如图1，等边△ABC内有一点P，若AP=8，BP=15，CP=17，求∠APB的大小；（提示：将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处）．
$德优题库$
（2）如图2，已知在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC、F为BC上的点，且∠EAF=45°；求证：EF²=BE²+FC²．
（3）如图3，点A，B，C分别为三处村庄，在点O处有一个加油站：已知∠C=90°，∠ABC=30°，经测量，∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，AC=4km,求加油站到三个村庄距离之和（即OA+OB+OC的值）．

共享时间:2022-05-18 难度:1

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[考点]

三角形综合题，

[校正]

[答案]

（1）150°；

（2）证明见解析；

（3）4

km．

[解析]

（1）解：如图1，将△APB绕着点A逆时针旋转60°得到△ACP′，

∴△ACP′≌△ABP，
∴AP′＝AP＝8，CP′＝BP＝15，∠AP′C＝∠APB，
由题意知旋转角∠PAP′＝60°，
∴△APP′为等边三角形，
∴PP′＝AP＝8，∠AP′P＝60°，
∵PP′²+P′C²＝8²+15²＝17²＝PC²，
∴∠PP′C＝90°，
∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C＝60°+90°＝150°；
（2）证明：如图2，把△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ACE′，

则AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，
∵∠BAC＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠CAF＝∠CAF+∠CAE′＝∠FAE′＝45°，
∴∠EAF＝∠E′AF，
又∵AE＝AE'，AF＝AF，
∴△AEF≌△AE′F（SAS），
∴EF＝E′F，
∵∠B+∠ACB＝90°，
∴∠ACB+∠ACE′＝90°，
∴∠FCE′＝90°，
∴E′F²＝CF²+CE′²，
∴EF²＝BE²+CF²；
（3）解：如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4km，∠ABC＝30°，
∴AB＝8km，
∴BC＝

＝4

（km），
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，
∴△A′O′B如图所示；∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，
∴A′B＝AB＝8km，BO＝BO′，A′O′＝AO，
∴△BOO′是等边三角形，
∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，
∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，
∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BO′O＝120°+60°＝180°，
∴C、O、A′、O′四点共线，
在Rt△A′BC中，A′C＝

＝4

（km），
∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝4

（km）．

[点评]

本题考查了"三角形综合题，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。

转载声明：

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考点说明

灰色代表去掉的考点，绿色代表未变动的考点，红色代表新增的考点

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

290043. （2016•铁一中学•二模）问题提出
（1）如图1，AB∥DC，试在射线DC上找一点E_{四边形ABCD}＝S_△BDE，并指出四边形ACEB是何种四边形．
（2）如图2，Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，将△ABC绕C点顺时针旋转60°得到△A'B'C
（3）如图3，Rt△ABC中，∠A＝60°

，点D在BC边上，且BD＝2，点E、F在AC边上，线段DE与线段GF交于点O，∠EOF＝60°，试求出四边形DGEF面积的最大和最小值．

共享时间:2016-03-27 难度:1 相似度:2

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196459. （2024•爱知中学•七下期末）问题发现：学习三角形全等的知识时，小明发现重合两个等腰直角三角形的顶点会产生一对新的全等三角形．
如图1，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在边BC上，连接AD，以AD为边作△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE，请连接图中标有字母的点，补全图形，直接写出一对全等三角形和∠BCE的度数．
问题探究：小明想，如果将图中的等腰直角三角形换成等边三角形，那么这组全等三角形是否还存在？
如图2，△ABC和△ADE是等边三角形，点B，D，E在同一直线．
（1）证明：△ABD≌△ACE．
（2）探索线段BE，AE，CE三者间的数量关系，写出结论并说明理由．
问题拓展：经过上面的探究，小明联想到几天前一道不会的题，请你帮小明再想一想，是否有新的发现．
如图3，边长为a的等边△ABC中，D是AC中点，BD=b,E是线段BD上一动点，连接AE，在AE右侧作等边△AEF，连接FD，求△AFD周长的最小值（用含a,b的代数式表示），并直接写出取最小值时∠AFD的度数．
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共享时间:2024-07-21 难度:1 相似度:2

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198437. （2022•爱知中学•八上期中）（1）如图①，△ABC与△ADE均是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，线段BD、CE交于点F．则∠DFE＝　　．
（2）如图②，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，延长BC至点D，使

，以AD为直角边在AD的左侧作等腰直角△ADE，使得AD＝AE＝6，∠DAE＝90°，连接CE，求线段CE的长．
（3）如图③，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，在AC的左侧作△ACD，使得AD＝6，∠ADC＝45°，

，连接BD，求线段BD的长．

共享时间:2022-11-23 难度:1 相似度:2

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198341. （2023•新城区•八上期中）问题情境：老师在黑板上出了这样一道题：直线l同旁有两个定点A，B，在直线l上是否存在点P，使得PA+PB的值最小？
小明的解法如下：如图1，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，则A'B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A'B．
问题提出：
（1）如图2，等腰Rt△ABC的直角边长为4，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，求PB+PE的最小值．
问题解决：
（2）如图3，为了解决A，B两村的村民饮用水问题，A，B两村计划在一水渠上建造一个蓄水池M，从蓄水池M处向A，B两村引水，A，B两村到河边的距离分别为AC=3千米，BD=9千米，CD=9千米．若蓄水池往两村铺设水管的工程费用为每千米15000元，请你在水渠CD上选择蓄水池M的位置，使铺设水管的费用最少，并求出最少的铺设水管的费用．
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共享时间:2023-11-15 难度:1 相似度:2

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198088. （2023•师大附中•九上期中）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，D，E分别为AB，BC边上一点，连接DE，且BD＝DE，将△ABC绕点B在平面内旋转．
（1）观察猜想
若α＝60°，将△ABC绕点B旋转到如图2所示的位置，则

的值为　　．
（2）类比探究
若α＝90°，将△ABC绕点B旋转到如图3所示的位置，求

的值．
（3）拓展应用
若α＝90°，D为AB的中点，AB＝6，当AD⊥BE中，请求出CE的值．

共享时间:2023-11-30 难度:1 相似度:2

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198016. （2024•交大附中•八上期中）【方法归纳】同学们，我们在学完勾股定理的证明后发现：运用“同一图形的面积的不同表示方式”可以用来探究线段之间的关系．今天，我们来尝试用这种方法来解决以下问题．
（1）【小试牛刀】如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，BD⊥AC于点D，则BD= ．
（2）【学有所用】如图2，△ABC中，AB=AC=8，S_△ABC=20，M是底边BC上的任意一点，且M到AB、AC的距离分别为h₁、h₂．请问：h₁+h₂是定值吗？如果是，求出这个值；如果不是，说明理由．
（3）【拓展升华】在平面直角坐标系中，三个点A（-6，0），B（4，0），C（0，8），M为直线BC上一点，且到AC的距离为3．求点M的坐标．
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共享时间:2024-11-13 难度:1 相似度:2

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197547. （2024•高新陆港•九上期中） $德优题库$ 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α后得到△AED，点B，C的对应点分别是E，D．
（1）如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；
（2）如图2，若α=60°，点F是边AC的中点，试说明四边形BFDE是平行四边形；
（3）若BC=4，连接CE，CD．在旋转的过程中，△CDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出其面积最大值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2024-11-22 难度:1 相似度:2

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197399. （2024•高新三中•八下期中）根据材料回答下列小题
（1）【操作发现】如图1，将△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE，连接BD，则△ABD是　　三角形
（2）【类比探究】如图2，在等边三角形ABC内任取一点P，连接PA，PB，PC，求证：以PA，PB，PC
的长为三边必能组成三角形．
（3）【解决问题】如图3，在边长为

的等边三角形ABC内有一点P，∠APC＝90°，∠BPC＝120°求△APC的面积．
（4）【拓展应用]如图4是M，N，G三个村子位置的平面图经测量MN＝6km，∠M＝75°，MG＝4

km，区管委会想在△MNG内建污水处理厂，为了快捷、环保和节约成本，要使得线段OM、ON、OG之和最短，试求OM+ON+OG的最小值（污水处理厂与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计了．

共享时间:2024-05-13 难度:1 相似度:2

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196900. （2024•交大附中•七下期末）小明同学在学习完全等三角形后，发现可以通过添加辅助线构造全等三角形来解决问题．
（1）如图（1），AD是△ABC的中线，且AB＞AC，延长AD至点E，使ED=AD，连接BE，可证得△ADC≌△EDB，其中判定两个三角形全等的依据为．
（2）如图（2），在△ABC中，点E在BC上，且DE=DC，过E作EF∥AB，且EF=AC．求证：AD平分∠BAC．
（3）如图（3），在△ABC中，∠A=90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．若BE=1.8，CF=2.4，求EF的长度． $德优题库$

共享时间:2024-07-09 难度:1 相似度:2

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196335. （2024•高新一中•七下期末）（1）【特例感知】如图1，∠BAD=90°，AB=AD，BC⊥AC于点C，DE⊥AC于点E．A、C、E三点在同一直线上，BC=3，ED=4，则CE= ．
（2）【问题探究】如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E是BC边上两点，连接AD，以AD为腰作等腰直角△ADF，∠ADF=90°，作FE⊥BC于点E，FE=CE，若BD=2，CE=5，求△CDF的面积．
（3）【拓展应用】如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=13，点G在BC边上，满足∠GAC=3∠BAG，点H在线段AC上，AH=4，点E是直线AC上的一个动点，连接GE，过点G作GF⊥GE，且GE=GF．当点P是线段AG上的一个动点时，连接PH、PF，是否存在PH+PF的最小值？如果存在，请求出PH+PF的最小值；如果不存在，请说明理由．
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共享时间:2024-07-12 难度:1 相似度:2

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198974. （2023•交大附中•七下期中）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到M，使DM=AD，连接BM．
$德优题库$
【探究发现】：（1）图1中AC与BM的数量关系是，位置关系是；
【初步应用】：（2）如图2，在△ABC中，若AB=12，AC=8，求BC边上的中线AD的取值范围．（提示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．例如：若3x＜6，则x＜2．）
【探究提升】：（3）如图3，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE=AB，AF=AC，延长DA交EF于点P，判断线段EF与AD的数量关系和位置关系，请说明理由．

共享时间:2023-05-22 难度:1 相似度:2

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196259. （2024•高新一中•七下期末）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=6，AC=10，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．根据SAS可以判定△ADC≌△EDB，得出AC=BE．这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围是．
【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的一点，AE是△ABD的中线，CD=AB，∠BDA=∠BAD，试说明：AC=2AE；
【问题拓展】（3）如图3，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE=AB，AF=AC，判断线段EF与AD的关系，并说明理由．
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共享时间:2024-07-09 难度:1 相似度:2

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196185. （2024•师大附中•九上期末）（1）问题探究：
如图1，在△ABC中，BC=4，∠BAC=45°，则△ABC的外接圆半径为．
（2）问题解决：
如图2，△ABC为一个快递转运中心，∠ABC=90°，AB=BC=30，半径为5的半圆⊙E在△ABC的内部或边上，其圆心E在边BC上．现需在△ABC内建造一个快递堆放平台点P，使∠APC=135°，在半圆⊙E上建造一个快递堆放平台点F，在边AB上建一个快递结算中心Q，为节省转运时间，请求出PQ+FQ的最小值，及取最小值时点P到BC的距离．
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共享时间:2024-02-02 难度:1 相似度:2

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196134. （2024•师大附中•七下期末）【问题背景】
如图1，在等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上任意一点，连接AD、BE，AD与BE相交于点O，且BD=CE．
请直接写出线段AD与BE之间的数量关系：       ；∠AOE=       ．
【推广探究】
如图2，在等边△ABC中，P、M分别为边AB、AC上的点，且AM=BP，过点P作PQ∥BE交AC于点Q，过点M作MN∥AD交BC于点N，PQ与MN交于点F．
（1）∠MFQ=       ；
（2）求证：PQ=MN．
【深入探究】
如图3，在“推广探究”的条件下，令四边形APFM的周长为C₁，四边形CNFQ的周长为C₂，MF=a,FQ=b,FN=c,则C₁-C₂=       （请用含有a、b的代数式表示）．
$德优题库$

共享时间:2024-07-12 难度:1 相似度:2

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195904. （2025•曲江一中•八上期末）如图，△ABC是边长为12cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，点P沿射线AB运动，点Q沿折线BC-CA运动，且它们的速度都为1cm/s.当点Q到达点A时，点P随之停止运动．连接PQ，PC，设点P的运动时间为t（s）．
$德优题库$
（1）当点Q在线段BC上运动时，BQ的长为（cm），BP的长为（cm）（用含t的式子表示）．
（2）当PQ与△ABC的一条边垂直时，求t的值．
（3）当点Q从点C运动到点A的过程中，连接PQ，直接写出PQ中点O经过的路径长．

共享时间:2025-02-23 难度:1 相似度:2

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2022-05-18

初中数学 | 八年级下 | 解答题

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2021-2022学年陕西省西安市雁塔区曲江一中八年级（下）期中数学试卷

更新:2022-05-18 11:45浏览量:46

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