阅读下面材料完成以下两问数学课上老师出示了这样一道题如图中为中点且为中点连接并延长交于探究线段之间的数量关系并证明同学们经过思考后交流了自己的想法小明通过观察和度量发现线段之间存在某种数量关系小强通过倍长不同的中线可以得到不同的结论但都是正确的小伟通过构造证明相似三角形全等三角形就可以将问题解决小伟在探索时做法为过作交延长线于构造

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198387. （2022•爱知中学•九上期中）阅读下面材料，完成以下两问：
数学课上，老师出示了这样一道题．如图，△ABC中，D为BC中点，且AD＝AC，M为AD中点，连接CM并延长交AB于N．探究线段AN、MN、CN之间的数量关系，并证明．
同学们经过思考后，交流了自己的想法：
小明：“通过观察和度量，发现线段AN、AB之间存在某种数量关系”．
小强：“通过倍长不同的中线，可以得到不同的结论，但都是正确的”．
小伟：“通过构造、证明相似三角形、全等三角形，就可以将问题解决”．

（1）小伟在探索时，做法为：过B作BQ∥NC交AD延长线于Q，构造△BDQ≌△CDM（ASA）．
请你按照他的做法，判断AN与AB之间的数量关系为：

＝　　．
（2）如图（2）：延长AD至H，使AD＝DH，连接CH，则结论：AN²＝MN⋅CN是否成立？请说明理由；
（3）如图（3），证明：AN+2MN＝NC．

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相似

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[考点]

相似形综合题，

[答案]

（1）

；

（2）成立，见解析；

（3）见解析．

[解析]

（1）解：过B作BQ∥NC交AD延长线于Q，如图：

∴∠QBD＝∠MCD，
∵D为BC中点，∠QDB＝∠MDC，
∴△BDQ≌△CDM（ASA），
∴DQ＝DM，
∵M为AD中点，
∴AM＝DM＝DQ，
∵BQ∥NC，
∴△ANM∽△ABQ，
∴

，
∴

；
（2）证明：延长AD至H，使AD＝DH，连接CH，如图：

∵D为BC中点，∠ADB＝∠HDC，
∴△ABD≌△HCD（SAS），
∴∠H＝∠BAH，
∴AB∥HC，
设AM＝x，则AD＝AC＝2x，AH＝4x，
∴AC²＝4x²，AM⋅AH＝4x²，
∴AC²＝AM⋅AH；
∴

，∠MAC＝∠CAH，
∴△AMC∽△ACH，
∴∠ACM＝∠H，
∴∠ACM＝∠BAH，
∵∠ANM＝∠CNA，
∴△ANM∽△CNA，
∴

，
∴AN²＝MN⋅CN；
（3）证明：成立，理由如下：
延长BC至H，使CH＝CD，连接AH，如图：

∵在△AQM和△DCM中，

，
∴△AQM≌△DCM（SAS），
∴∠Q＝∠QCB，AQ＝CD，
∴AQ∥CH，AQ＝CH，
∴四边形AQCH为平行四边形，
∴AH∥CQ，
∴∠H＝∠QCB，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠ADB＝∠ACH，
∵BD＝DC＝CH，
∴△ADB≌△ACH（SAS），
∴∠H＝∠B，
∵AQ∥BC，
∴∠Q＝∠QCB，∠QAB＝∠B，
∴∠H＝∠B＝∠Q＝∠QAB，
∴QN＝AN，QN+MN＝MC，
∴AN+MN＝NC﹣MN，
∴AN+2MN＝NC；

[点评]

本题考查了"相似形综合题，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

198999. （2022•交大附中•九上期中）定义：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P'所在的直线都经过同一点O，且有OP'=k⋅OP（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心，
（1）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=6cm.点P在AB上，点Q在AC上，以PQ为边作菱形PQMN，点N在线段PB上且∠APQ=120°，在△ABC及其内部，以点A为位似中心，请画出菱形PQMN的位似菱形P'Q'M'N'，且使菱形P'Q'M'N'的面积最大（不要求尺规作图）；
（2）求（1）中作出的菱形P'Q'M'N'的面积；
（3）如图，四边形ABCD、AEFG是全等的两个菱形，CD、EF相交于点M，连接BG、CF．请用定义证明：△ABG与△MCF位似．
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共享时间:2022-11-26 难度:1 相似度:2

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179632. （2024•西工大附中•九上期中）（1）如图1，正方形ABCD和正方形BHGF，其中D，G，F三点共线，延长BG交CD于E，连结AH．若CE＝2，DE＝6，则tan∠DBE＝　；
（2）在（1）的条件下，如图1，求

的值；
（3）如图2，正方形ABCD和正方形BHGF，P是AB中点，连结CP，F恰在CP上，连结DG、AG，若AB＝3，当AG最小时，求正方形BHGF的边长．

共享时间:2024-11-22 难度:1 相似度:2

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198901. （2022•滨河中学•九上期中）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC＝a，AC＝b，AB＝c．
特例探索
（1）如图1，当∠ABE＝45°，c＝2

时，a＝　　，b＝　　．
如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝　　，b＝　　．
归纳证明
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a²，b²，c²三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．
拓展应用
（3）如图4，在▱ABCD中，点E、F、G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝2

，AB＝3，求AF的长．

共享时间:2022-11-28 难度:1 相似度:2

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197993. （2024•交大附中•九上期中）新定义：如图1，在∠AOB的平分线上一点任取一点M，若OM恰好是OA和OB的比例中项，则称四边形OAMB为“成比例四边形”．
（1）在图1中，若∠AOB=90°，四边形OAMB为“成比例四边形”，则∠AMB= ；
（2）如图2，∠AOB=α（其中α为锐角），OM=1，连接AB．若四边形OAMB为“成比例四边形”，用含α的式子分别表示∠AMB的度数和△AOB的面积；
（3）如图3，坐标平面内有一点C（a,b），满足ab=6．过点C作直线分别与x轴和y轴交于A、B两点，且AC=4BC．试分析：在平面直角坐标系内是否存在一点M，使得四边形OAMB恰好为“成比例四边形”．若存在，请求出点M坐标；若不存在，请说明理由．
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共享时间:2024-11-10 难度:1 相似度:2

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197725. （2024•西工大附中•九上期中）问题提出
（1）如图①，已知△ABC，点D是AB上一点，且∠ACD=∠B，求证：AC²=AD•AB；
问题探究
（2）如图②，在正方形ABCD中，AB=4，对角线AC、BD相交于点O，点E是AO上一点，且OE=1，连接BE，以BE为斜边向左作等腰直角△BEF，连接OF，求OF的长；
问题解决
（3）如图③，矩形ABCD是某公园的平面示意图，已知AB=600米，BC=800米，点E是AD边上且距离公园D出口500米远的一个观测点，观测距离EF=100米．现计划在公园内部且与AF垂直的方向上修建一座凉亭P，要求AP=2AF．为了游客能更好的欣赏公园风景，在凉亭P和出口C、D之间需再修建两条观光小路PD和PC（小路宽度不计）．已知小路PD的造价为2000元/米．小路PC的造价为500元/米，请你根据题中提供的信息，求出修建观光小路的最低费用．
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共享时间:2024-11-18 难度:1 相似度:2

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197598. （2024•高新一中•九上期中）问题提出
（1）如图①，点B、C、D在同一直线上，∠B＝∠ACE＝∠D，求证：△ABC∽△CDE；
问题探究
（2）如图②，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，过CB的中点D作DE⊥AD，交AB于点E，求线段EB的长；
问题解决
（3）如图③，在矩形场地ABCD中，AB＝300m，BC＝400m，AC为对角线，BC边上有一个大门F，需要在AC上安装一个扫描仪E，扫描的范围为α（∠BEF＝α），经过测试，当扫描范围设置为sin

时效果最佳，若在场地中，以A、F、C、D四点为顶点的四边形划分为作业区，剩余部分划分为休息区，将扫描仪E放置在距离点C多远时，四边形AFCD面积最大？最大面积为多少？

共享时间:2024-11-27 难度:1 相似度:2

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196435. （2024•新城区•九上期末）（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC＝∠A＝∠B＝90°．求证：

．
（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC＝∠A＝∠B时，（1）中结论是否依然成立，说明理由．
（3）应用：如图3，在△ABD中，AB＝12，AD＝BD＝10，点P为线段AB上一点，点C为线段BD上一点，CD＝8，当满足∠DPC＝∠A时，求AP的长．

共享时间:2024-02-25 难度:1 相似度:2

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191998. （2023•陆港中学•九上二月）问题提出：
（1）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，则当AB边上的高为　　时，△ABC的面积最大；
问题探究：
（2）如图2，在直角三角形ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AB＝2，点D、E分别为BC、AB边上的动点，且

，连接AD、CE，交于点P，
①求证：△CAE∽△ABD；
②求∠APC的度数及△ACP面积的最大值．
问题解决：
（3）如图3，为进一步落实“双减”，让学生在课间十分钟动起来，我校将在一片空地上建如图所示的四边形活动场地（即四边形ADBC）．其中，C、D分别为场地的入口和出口，

米，∠ACB＝90°，AC＝BC，且∠ADB＝30°．已知建设成本为每平方米10元，求建设满足要求的场地，最多需要投入多少元？

共享时间:2023-12-20 难度:1 相似度:2

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190645. （2025•二十六中•九上期末） $德优题库$ 【问题提出】
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在边AC上，DE⊥AB于点E．若AB=5，BC=AD=3，求AE的长．
【问题解决】
（2）如图②，有一块边长为30m的正方形花园，点D，E为花园的入口，且BE=10m,连接BD．若在△BCD区域内设计一个亭子F（亭子的大小忽略不计），满足AF=AB，从入口到亭子铺设两条景观路DF和EF．已知铺设小路DF所用的景观石材每米的造价是200元，铺设小路EF所用的景观石材每米的造价是300元，求铺设小路DF和EF的最低造价及此时亭子F到边AB的距离．

共享时间:2025-03-01 难度:1 相似度:2

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190118. （2025•未央区•九上期末）【问题提出】
如图①，在△ABC中，D是边AB上的点，E是边AC上的点，连接BE，CD交于点F，若

，求

的值．
（1）猜想证明：小明想过点E作EG∥AB交CD于点G．请你根据他的思路，写出解答过程．
【问题探究】
（2）如图②，在△ABC中，点D是边AB上的点，点E是边CA延长线上的点，连接BE，CD，BE交CD的延长线于点F．若

，且△ACD的面积为2，求四边形ADFE的面积．
【问题解决】
（3）如图③，某市区需要改造一个矩形公园ABCD，其中两个门的位置点E，F分别在边BC，CD上，AB＝3千米，AD＝6千米，根据改造要求，需要增加步行通道DE，且DE与原步行通道AF，BF交于点P，Q，将PQ改造为休息长廊，由设计图知CF＝2DF，CE＝2BE，求休息长廊PQ的长．

共享时间:2025-02-07 难度:1 相似度:2

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190066. （2025•西咸新区•九上期末）【问题探究】
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E，F是AB的中点，连接DF、EF，EF交AD于点G，AB＝4，AE＝3．
①求线段CD的长；
②求线段DG的长．
【问题解决】
（2）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图2，△ABC是某校一块劳动实践基地的示意图，图中AB＝AC，sinB＝

，BC的中点D处有一个出口，学校计划对该基地进行重新扩建规划，在BD上取点E，AC的延长线上取点F，过F作FM∥AB交BC的延长线于点M，并将△DMF和△ABE区域规划为幼苗种植区，根据规划要求，BE＝CF，∠BAE＝∠CDF，为了精准预算，学校需要知道DE与AB的数量关系，请你帮助学校计算出

的值．

共享时间:2025-02-08 难度:1 相似度:2

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179457. （2024•高新一中•九上期中）问题提出
（1）如图1，四边形ABCD为矩形，点E为边BC上的一点，连接AE，过E作EF⊥AE交边CD于点F，若AB＝4，EC＝3，则

的值为　．
问题探究
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝6，

，Rt△AEF的直角顶点E在边BC上，顶点F在边CD上，若

，求CF的长．
问题解决
（3）如图3，是四边形ABCD是某科技园示意图，其中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝200m，AB＝400m，BC＝500m，点F是大门，CF＝300m，现需要在边BC上安装一个监控E，对道路AD、DF进行全天监控，监控E的角度为∠AEF，且

，监控E是否存在符合要求的安装位置，若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．

共享时间:2024-11-21 难度:1 相似度:2

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175930. （2024•交大附中•九上一月）在平行四边形ABCD中，AD＝8，DC＝6，∠FED的顶点在BC上，EF交直线AB于F点．
（1）如图1，若∠FED＝∠B＝90°，BE＝5，求BF的长；
（2）如图2，在AB上取点G，使BG＝BE，连接EG，若∠B＝∠FED＝60°，求证：

；
（3）如图3，若∠ABC＝90°，点C关于BD的对称点为点C'，CC′交BD于点M，对角线AC、BD交于点O，连接OC'交AD于点G，求AG的长．

共享时间:2024-10-16 难度:1 相似度:2

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175092. （2024•西安三中•九上一月）三角形的布洛卡点（ Brocardpoint）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．LCrelle1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（ Brocard1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．如图1，若△ABC内一点P满足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝∠α，则点P是△ABC的布洛卡点，∠α是布洛卡角．
（1）如图2，点P为等边三角形ABC的布洛卡点，则布洛卡角的度数是　　；PA、PB、PC的数量关系是　　；
（2）如图3，点P为等腰直角三角形ABC（其中∠BAC＝90°）的布洛卡点，且∠1＝∠2＝∠3．
①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明；
②若△ABC的面积为

，求△PBC的面积．

共享时间:2024-10-18 难度:1 相似度:2

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174916. （2024•滨河中学•九上一月）如图，∠AOB＝90°，点P在∠AOB的角平分线上，PA⊥OA于点A．

（1）【操作判断】
如图①，过点P作PC⊥OB于点C，在图①中画出PC，则四边形OAPC的形状是　正方形　；
（2）【问题探究】
如图②，点M在线段AO上，连接PM、OP．过点P作PN⊥PM交射线OB于点N．试猜想OM、ON、OP之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）【拓展延伸】
点M在射线AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，射线NM与射线PO相交于点F，若ON＝3OM，求

的值．

共享时间:2024-10-21 难度:1 相似度:2

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dyczsxyn

2022-11-10

初中数学 | 九年级上 | 解答题

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2022-2023学年陕西省西安市新城区爱知中学九年级（上）期中数学试卷

更新:2022-11-10 03:22浏览量:26

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