综合与探究在正方形中点是边上的动点连接探索发现如图过点作求证类比探究如图过点作于点连接当时的面积等于拓展延伸如图过点作于点连接将沿翻折得到交于点求线段的最小值

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211384. （2025•铁一湖滨中学•二模）综合与探究
在正方形ABCD中，AB=4，点E是AB边上的动点，连接CE．
（1）【探索发现】如图1，过点D作DF⊥CE，求证：△CFD∽△EBC；
（2）【类比探究】如图2，过点B作BF⊥CE于点F，连接DF，当DF=DC时，△CFD的面积等于；
（3）【拓展延伸】如图3，过点B作BF⊥CE于点F，连接DF，将△CFD沿CE翻折得到△CFG，FG交BC于点H，求线段CH的最小值．
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共享时间:2025-03-17 难度:1

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相似

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[考点]

相似形综合题，

[校正]

[答案]

（1）见解析；

（2）

；

（3）

．

[解析]

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，∠DCF+∠BCE＝90°，
∴DF⊥CE，
∴∠DFC＝90°，∠CDF+∠DCF＝90°，
∴∠BCE＝∠CDF，
∴△CFD∽△EBC；
（2）解：当DF＝DC时，作DH⊥CE于点H，如图所示，

C
∴∠DCH＝∠FBC，
∵DC＝BC，∠DHC＝∠BFC＝90°，
∴△CDH≌△BCF（AAS），
设CH＝a，
∵DF＝DC，DH⊥CE，
∴FH＝CH＝a，
∵BF⊥CE，CD＝BC＝4，△CDH≌△BCF，
∴BF＝CH＝α，在 Rt△CFB中，CF²+BF²＝BC²，
∴（2a）²+a²＝4²，解得

，
∴

，
故答案为：

；
（3）解：CH的最小值为

，
∵∠BFC＝90°，
∴点F在以BC的中点M为圆心的圆上，延长DF交CB的延长线于点N，

设∠MFG＝α，∠MFC＝∠MCF＝β，
∴∠GFC＝∠DFC＝α+β＝∠FNC+∠MCF，
∴∠FNC＝α，
∴∠FNC＝∠MFG，
∵∠FMH＝∠NMF，
∴△MFH∽△MNF，
∴

，
∴

，
若CH最小，即MH最小，则MN最大，当MN最大时，DN 与圆M相切，即MF⊥DN，
设BN＝x，
∴

，
∴

，
∴3x²+8x﹣16＝0，
解得

或x＝﹣4（舍），
∴

，
∴

．
即CH的最小值为

．

[点评]

本题考查了"相似形综合题，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。

转载声明：

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考点说明

灰色代表去掉的考点，绿色代表未变动的考点，红色代表新增的考点

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

276125. （2023•师大附中•六模）如图①，在正方形ABCD中，

，点E在AC上，且AE＝2．过点E作EF⊥AC，交AB于点F，连接CF，DE．
问题发现
（1）

的值为　　．
问题探究
（2）如图②，将△AEF绕点A顺时针旋转，上述结论是否成立？若成立，请写出结论并证明；若不成立，请说明理由．
问题解决
（3）在（2）的条件下，当C，E，F三点共线时，试求出DE的长．

共享时间:2023-05-23 难度:1 相似度:2

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198901. （2022•滨河中学•九上期中）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC＝a，AC＝b，AB＝c．
特例探索
（1）如图1，当∠ABE＝45°，c＝2

时，a＝　　，b＝　　．
如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝　　，b＝　　．
归纳证明
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a²，b²，c²三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．
拓展应用
（3）如图4，在▱ABCD中，点E、F、G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝2

，AB＝3，求AF的长．

共享时间:2022-11-28 难度:1 相似度:2

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190645. （2025•二十六中•九上期末） $德优题库$ 【问题提出】
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在边AC上，DE⊥AB于点E．若AB=5，BC=AD=3，求AE的长．
【问题解决】
（2）如图②，有一块边长为30m的正方形花园，点D，E为花园的入口，且BE=10m,连接BD．若在△BCD区域内设计一个亭子F（亭子的大小忽略不计），满足AF=AB，从入口到亭子铺设两条景观路DF和EF．已知铺设小路DF所用的景观石材每米的造价是200元，铺设小路EF所用的景观石材每米的造价是300元，求铺设小路DF和EF的最低造价及此时亭子F到边AB的距离．

共享时间:2025-03-01 难度:1 相似度:2

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191998. （2023•高新陆港•九上二月）问题提出：
（1）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，则当AB边上的高为　　时，△ABC的面积最大；
问题探究：
（2）如图2，在直角三角形ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AB＝2，点D、E分别为BC、AB边上的动点，且

，连接AD、CE，交于点P，
①求证：△CAE∽△ABD；
②求∠APC的度数及△ACP面积的最大值．
问题解决：
（3）如图3，为进一步落实“双减”，让学生在课间十分钟动起来，我校将在一片空地上建如图所示的四边形活动场地（即四边形ADBC）．其中，C、D分别为场地的入口和出口，

米，∠ACB＝90°，AC＝BC，且∠ADB＝30°．已知建设成本为每平方米10元，求建设满足要求的场地，最多需要投入多少元？

共享时间:2023-12-20 难度:1 相似度:2

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196435. （2024•新城区•九上期末）（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC＝∠A＝∠B＝90°．求证：

．
（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC＝∠A＝∠B时，（1）中结论是否依然成立，说明理由．
（3）应用：如图3，在△ABD中，AB＝12，AD＝BD＝10，点P为线段AB上一点，点C为线段BD上一点，CD＝8，当满足∠DPC＝∠A时，求AP的长．

共享时间:2024-02-25 难度:1 相似度:2

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197598. （2024•高新一中•九上期中）问题提出
（1）如图①，点B、C、D在同一直线上，∠B＝∠ACE＝∠D，求证：△ABC∽△CDE；
问题探究
（2）如图②，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，过CB的中点D作DE⊥AD，交AB于点E，求线段EB的长；
问题解决
（3）如图③，在矩形场地ABCD中，AB＝300m，BC＝400m，AC为对角线，BC边上有一个大门F，需要在AC上安装一个扫描仪E，扫描的范围为α（∠BEF＝α），经过测试，当扫描范围设置为sin

时效果最佳，若在场地中，以A、F、C、D四点为顶点的四边形划分为作业区，剩余部分划分为休息区，将扫描仪E放置在距离点C多远时，四边形AFCD面积最大？最大面积为多少？

共享时间:2024-11-27 难度:1 相似度:2

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197993. （2024•交大附中•九上期中）新定义：如图1，在∠AOB的平分线上一点任取一点M，若OM恰好是OA和OB的比例中项，则称四边形OAMB为“成比例四边形”．
（1）在图1中，若∠AOB=90°，四边形OAMB为“成比例四边形”，则∠AMB= ；
（2）如图2，∠AOB=α（其中α为锐角），OM=1，连接AB．若四边形OAMB为“成比例四边形”，用含α的式子分别表示∠AMB的度数和△AOB的面积；
（3）如图3，坐标平面内有一点C（a,b），满足ab=6．过点C作直线分别与x轴和y轴交于A、B两点，且AC=4BC．试分析：在平面直角坐标系内是否存在一点M，使得四边形OAMB恰好为“成比例四边形”．若存在，请求出点M坐标；若不存在，请说明理由．
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共享时间:2024-11-10 难度:1 相似度:2

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198387. （2022•爱知中学•九上期中）阅读下面材料，完成以下两问：
数学课上，老师出示了这样一道题．如图，△ABC中，D为BC中点，且AD＝AC，M为AD中点，连接CM并延长交AB于N．探究线段AN、MN、CN之间的数量关系，并证明．
同学们经过思考后，交流了自己的想法：
小明：“通过观察和度量，发现线段AN、AB之间存在某种数量关系”．
小强：“通过倍长不同的中线，可以得到不同的结论，但都是正确的”．
小伟：“通过构造、证明相似三角形、全等三角形，就可以将问题解决”．

（1）小伟在探索时，做法为：过B作BQ∥NC交AD延长线于Q，构造△BDQ≌△CDM（ASA）．
请你按照他的做法，判断AN与AB之间的数量关系为：

＝　　．
（2）如图（2）：延长AD至H，使AD＝DH，连接CH，则结论：AN²＝MN⋅CN是否成立？请说明理由；
（3）如图（3），证明：AN+2MN＝NC．

共享时间:2022-11-10 难度:1 相似度:2

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198999. （2022•交大附中•九上期中）定义：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P'所在的直线都经过同一点O，且有OP'=k⋅OP（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心，
（1）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=6cm.点P在AB上，点Q在AC上，以PQ为边作菱形PQMN，点N在线段PB上且∠APQ=120°，在△ABC及其内部，以点A为位似中心，请画出菱形PQMN的位似菱形P'Q'M'N'，且使菱形P'Q'M'N'的面积最大（不要求尺规作图）；
（2）求（1）中作出的菱形P'Q'M'N'的面积；
（3）如图，四边形ABCD、AEFG是全等的两个菱形，CD、EF相交于点M，连接BG、CF．请用定义证明：△ABG与△MCF位似．
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共享时间:2022-11-26 难度:1 相似度:2

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190066. （2025•西咸新区•九上期末）【问题探究】
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E，F是AB的中点，连接DF、EF，EF交AD于点G，AB＝4，AE＝3．
①求线段CD的长；
②求线段DG的长．
【问题解决】
（2）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图2，△ABC是某校一块劳动实践基地的示意图，图中AB＝AC，sinB＝

，BC的中点D处有一个出口，学校计划对该基地进行重新扩建规划，在BD上取点E，AC的延长线上取点F，过F作FM∥AB交BC的延长线于点M，并将△DMF和△ABE区域规划为幼苗种植区，根据规划要求，BE＝CF，∠BAE＝∠CDF，为了精准预算，学校需要知道DE与AB的数量关系，请你帮助学校计算出

的值．

共享时间:2025-02-08 难度:1 相似度:2

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211410. （2025•铁一湖滨中学•八模）【问题提出】在一个直角三角形中，以斜边上任意一点向两直角边做垂直，所截取的矩形的最大面积是多少？
【规律探究】如图①，是一个直角三角形，∠B=90°，在AC上任取点E，作ED⊥BC，EF⊥AB，得到矩形BDEF，我们可以设EF=x,证明得到△AEF∽△ACB后，经过推导，用含有x的代数式表示出该矩形的面积S，从而求得答案．
探究：如图①，AB=8，BC=6，请根据材料，
填空：①AF=       x；
②S=       ；
③矩形BDEF的最大面积的值       ．
【问题应用】如图②，已知有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．
【拓展延伸】如图③，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=70cm,BC=108cm,CD=76cm,且∠B=∠C=60°，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，则该矩形的面积为       ．（直接写出答案）
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共享时间:2025-06-15 难度:1 相似度:2

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244901. （2023•西工大附中•九上期末）九年级的小明，小亮与其他数学爱好者在网课学习期间交流了如下问题：
（1）如图①，在△ABC中，D，E分别为AB，AC上两点，DE∥AC，BD=2，AD=3，AC=10，则DE= ．
（2）在学习了北师大版数学九下46页关于直角三角形内接矩形问题后，小明提出了一般三角形的内接矩形问题．如图②，四边形DEFG是△ABC的一个内接矩形（矩形四个顶点在三角形三边上），如果AC=10，S_△ABC=30，请计算当DE为多长时，矩形DEFG面积最大？
（3）研究完问题（2）后，小亮又想知道如何去画△ABC的一个内接正方形，他又请教了数学张老师，知道了用位似的方法可以解决并证明．如图③，在AB边上任取一点D'，作正方形D′E′F′G′，使G′，F′落在AC边上，连接AE′并延长交BC于点E，作EF⊥AC，DE⊥EF，DG⊥AC，即可得到正方形DEFG，大家称线段AE为“缩放线”．张老师又启发同学们一起解决下列问题，如图④，在△ABC中，若AC=12，AC边上的高记为x,在“缩放线”AE上取EK=EF，连接KG，KF，当∠GKF=90°时，设三角形AEF的面积为y,请探究y与x的函数关系式．
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共享时间:2023-03-01 难度:1 相似度:2

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275531. （2025•铁一陆港初级中学•七模）【问题提出】（1）如图1，等边△ABC中，D是AB的中点，CD＝

，则△ABC的面积是　　．
【问题延伸】（2）如图2，△ABC中，∠ABC＝75°，D是AC上一点，∠ABD＝45°，若AB＝2BC，△BDC的面积是2，求△ABD的面积．
【问题解决】（3）为了吸引更多的游客，港务区计划将奥体中心广场外的大型露天舞台进行改造，如图3所示，舞台是四边形ABCD、其中，AB＝400m，AD＝600m，∠B＝∠D＝90°，∠DAB＝150°．设计师计划在舞台边缘BC上的点E处和CD上的点F处设置两盏聚光灯，A处为舞台入口，演员进场时，两盏灯的光束中心线AE、AF需在A点形成90°夹角（即∠EAF＝90°）．为减少光污染并提高灯光效率，舞台设计师需要确定两盏聚光灯的最佳位置，使得共同照亮的区域△AEF的面积最小．是否存在使得△AEF面积最小的E、F两点？若存在，请求出此时△AEF的面积；若不存在，请说明理由．

共享时间:2025-06-06 难度:1 相似度:2

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276098. （2023•师大附中•五模）折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸不仅可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动．
（1）操作判断：
在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部的点M处，把纸片展平，过M作EF∥BC交AB、CD、BP于点E、F、N，连接PM并延长交CD于点Q，连接BQ，如图①，当E为AB中点时，△PMN是　　三角形．
（2）迁移探究：
如图②，若BE＝5，且ME•MF＝10，求正方形ABCD的边长．
（3）拓展应用：
如图③，若