如图四棱锥的底面是矩形底面为中点且求求二面角的正弦值

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19772. （2021•陕西省•乙卷）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M为BC中点，且PB⊥AM．
（1）求BC；
（2）求二面角A﹣PM﹣B的正弦值．

共享时间:2021-06-21 难度:4

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相似

组卷

[考点]

空间直角坐标系，二面角的平面角及求法，

[答案]

答案详见解答

[解析]

解：（1）连结BD，因为PD⊥底面ABCD，且AM⊂平面ABCD，

则AM⊥PD，又AM⊥PB，PB∩PD＝P，PB，PD⊂平面PBD，
所以AM⊥平面PBD，又BD⊂平面PBD，则AM⊥BD，
所以∠ABD+∠ADB＝90°，又∠ABD+∠MAB＝90°，
则有∠ADB＝∠MAB，所以Rt△DAB∽Rt△ABM，
则

，所以

，解得BC＝

；
（2）因为DA，DC，DP两两垂直，故以点D位坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，

则

，P（0，0，1），

所以

，

，
设平面AMP的法向量为

，
则有

，即

，
令

，则y＝1，z＝2，故

，
设平面BMP的法向量为

，
则有

，即

，
令q＝1，则r＝1，故

，
所以

＝

，
设二面角A﹣PM﹣B的平面角为α，
则sinα＝

＝

，
所以二面角A﹣PM﹣B的正弦值为

．

[点评]

本题考查了"空间直角坐标系,二面角的平面角及求法"，属于"必考题"，熟悉题型将空间角问题转化为空间向量问题是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

167564. （2023•关山中学•高二上一月）如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AA₁＝AC＝4，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC的中点．请用空间向量的知识解答下列问题：
（1）求证：AB⊥A₁C；
（2）试求二面角D﹣CA₁﹣A的余弦值．

共享时间:2023-10-16 难度:1 相似度:1.5

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169970. （2023•长安区一中•高二上期末）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．
（1）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l平面PAC的位置关系，并加以证明；
（2）设PC＝2AB＝4，求二面角E﹣l﹣C大小的取值范围．

共享时间:2023-02-13 难度:1 相似度:1.5

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171718. （2023•西安八十五中•高二上期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD＝2BC，O为BD的中点，BD＝4，PB＝PC＝PD＝

．
（1）证明：OP⊥平面ABCD；
（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．

共享时间:2023-11-17 难度:2 相似度:1

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169877. （2023•长安区一中•高一下期末）如图1，在Rt△中，AB⊥BC，AC＝12，∠BAC＝

，E，F都在AC上，且AE：EF：FC＝3：4：5，BE∥FG，将△AEB，△CFG分别沿EB，FG折起，使得点A，C在点P处重合，得到四棱锥P﹣EFGB，如图2．
（1）求异面直线PF，BG所成角的余弦值；
（2）若M为PB的中点，求钝二面角B﹣FM﹣E的余弦值．

共享时间:2023-07-01 难度:2 相似度:1

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168940. （2021•高陵一中•二模）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，底面ABC是边长为4的等边三角形，∠A₁AB＝∠A₁AC，D为BC的中点．
（1）证明：BC⊥平面A₁AD．
（2）若△A₁AD是等边三角形，求二面角D﹣AA₁﹣C的正弦值．

共享时间:2021-03-30 难度:2 相似度:1

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169008. （2020•西安中学•一模）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝AB＝2，BC＝3，∠ABC＝90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．
（1）求证：AB⊥PE；
（2）求二面角A﹣PB﹣E的大小．

共享时间:2020-03-12 难度:2 相似度:1

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169077. （2020•西工大附中•三模）如图，在多面体ABCDEF中，AB∥CD，AD⊥CD，CD＝2AB＝2AD，四边形ADEF是矩形，平面BDE⊥平面ABCD，AF＝λAD．
（1）证明：DE⊥平面ABCD；
（2）若二面角B﹣CF﹣D的正弦值为

，求λ的值．

共享时间:2020-04-06 难度:2 相似度:1

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169100. （2020•西工大附中•三模）如图，在四棱锥B﹣ACDE中，平面ABC⊥平面ACDE，△ABC是一个边长为4的正三角形，在直角梯形ACDE中，AE∥CD，AE⊥AC，AE＝2，CD＝3，点P在棱BD上，且BP＝2PD．
（1）求证：EP∥平面ABC；
（2）设点M在线段AC上，若平面PEM与平面EAB所成的锐二面角的余弦值为

，求MP的长．

共享时间:2020-04-14 难度:2 相似度:1

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169123. （2020•西工大附中•三模）已知一等腰梯形ABCD，如图（1）所示，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，沿AC将△ACD折起，使得平面ABC⊥平面ACD，如图（2）所示，连接BD，得三棱锥D﹣ABC．
（1）求证：图（2）中BC⊥平面ACD；
（2）求图（2）中的二面角A﹣BD﹣C的正弦值．

共享时间:2020-04-03 难度:2 相似度:1

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169193. （2020•交大附中•三模）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为

的菱形，∠BCD＝60°，AC与BD交于点O，平面FBC⊥平面ABCD，EF∥AB，FB＝FC，EF＝

．
（1）求证：OE⊥平面ABCD；
（2）若△FBC为等边三角形，点Q为AE的中点，求二面角Q﹣BC﹣A的余弦值．

共享时间:2020-04-15 难度:2 相似度:1

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169372. （2024•师大附中•高二上期末）如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠CBA＝∠DBC＝120°．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．

共享时间:2024-02-14 难度:2 相似度:1

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169418. （2024•西安中学•高三上期末）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为梯形，CD∥AB，AB⊥BC，PA⊥PD，BC＝CD＝PA＝PD＝1，AB＝2，平面PAD⊥平面PBC．
（1）若PB的中点为N，求证：CN∥平面PAD；
（2）求二面角P﹣AD﹣B的正弦值．

共享时间:2024-02-27 难度:2 相似度:1

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169569. （2024•师大附中•高二下期末）如图，在四棱台ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为平行四边形，∠BAD＝120°，侧棱AA₁⊥底面ABCD，M为棱CD上的点．AD＝A₁A＝2，A₁B₁＝DM＝1．
（1）求证：AM⊥A₁B；
（2）若M为CD的中点，N为棱DD₁上的点，且

，求平面A₁MN与平面A₁BD所成角的余弦值．

共享时间:2024-07-27 难度:2 相似度:1

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169612. （2024•滨河中学•高一下期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，|AB|＝2，|BC|＝|CD|＝1，AB∥CD，∠ABC＝90°，∠APB＝90°，|PA|＝|PB|．
（1）求点D到平面PAC的距离；
（2）求二面角A﹣BD﹣P的正切值．