如图点为上一点垂足分别为点与点若则的最大值为如图在中是边上一点且点是边上一点将沿折叠则点落在处连接求周长的最小值如图是某花园的设计示意图已知弧为上的一段优弧点为弧上的一点过点与点铺

首页 > 试题列表 > 单题解析

181108. （2024•爱知中学•九下一月）（1）如图①，点P为⊙O上一点，OA⊥l，PH⊥l，垂足分别为点A与点H，若OA＝5，OP＝3，则PH的最大值为　　；
（2）如图②，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D是边AC上一点，且CD＝2，点E是边BC上一点，将△CDE沿DE折叠，则点C落在F处，连接BF，求△BEF周长的最小值；
（3）如图③，是某花园的设计示意图，已知AB＝60

m，

，∠ABC＝45°，AD＝CD，∠ADC＝90°，弧ABC为⊙O上的一段优弧，点E为弧BC上的一点，过点E与点O铺设一条观赏小路EF，过点A铺设一条与之垂直的观赏小路AF，垂足为F，现计划在△FCD内种植牡丹花，已知牡丹花每平米的成本费为500元，则种植牡丹花所需费用至少为多少元？

共享时间:2024-04-24 难度:1

纠错

下载

相似

组卷白板

[考点]

圆的综合题，

[答案]

（1）8；

（2）

；

（3）300000元．

[解析]

解：（1）如图①所示，过点 O作OO⊥PH于E，则四边形OAHE是矩形，

∴HE＝OA＝5，
∵OP≥PE，
∴PH＝PE+HE≤OP+OA＝5+3＝8，
∴PH的最大值为8，
故答案为：8；
（2）如图②所示，连接BD，

由折叠的性质可得EF＝EC，DF＝CD＝2，
∴△BEF的周长＝BE+EF+BF＝BE+CE+BF＝BC+BF，
∵DF＝2，
∴点F在以D为圆心，2为半径的圆上运动，
∴当B、D、F三点共线，且点F在BD上时，BF有最小值，即此时△BEF的周长最小，
∵BC＝6，CD＝2，∠BCD＝90°，
∴

，
∴△BEF的周长最小值为

；
（3）如图③所示，过点A作AG⊥BC于G，连接AC，OA，OC，

∵∠ABC＝45°，
∴△BAG是等腰直角三角形，
∴

，
∵

，
∴

；
∵AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴

，
∵∠AOC＝2∠ABC＝90°，OA＝OC，
∴

；
如图③所示，取OA的中点P，过点P作PQ⊥CD于Q，连接PF，过点F作FM⊥CD于M，
∵AF⊥EF，
∴∠AFO＝90°，
∴点F在以点P为圆心，OA为直径的圆上运动，
由（1）可知PQ≤PF+MF，
∴MF≥PQ﹣PF，
∵

，
∴四边形AOCD是正方形，
∴∠PAD＝∠ADQ＝90°，
又∵PQ⊥CD，
∴四边形APQD是矩形，
∴

，
∴

，
∵

，
∴当MF最小时，S_△FCD最小，
∴S_△FCD最小值为

，
∴种植牡丹花所需费用至少为600×500＝300000元．

[点评]

本题考查了"圆的综合题，"，属于"基础题"，熟悉题型是解题的关键。

转载声明：

本题解析属于发布者收集录入，如涉及版权请向平台申诉！！版权申诉

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

211955. （2025•铁一中学•四模）已知，如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC＝DC．过点C作AB的垂线，垂足为点E．
（1）求证：EC与⊙O相切．
（2）若

，AD＝10，求EC的长．

共享时间:2025-04-17 难度:1 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷白板

210994. （2025•高新一中•四模）【问题提出】
（1）如图①，在△ABC中，∠ACB=60°，AB=4，点O是△ABC外接圆的圆心，则△ABC面积的最大值是；
【问题解决】
（2）如图②所示，道路AB的一侧有一块闲置地，当地政府为提高辖区生态环境水平，改善居民生活质量，现规划建设一个五边形的公园ABCDE，根据设计要求：∠DAB=∠BCD=60°，∠AED=120°，AD，BD为公园内的两条步行直道，BD=800m,M为BD的中点．设计师还需在BC上选取一点F，经过点M修建一条步行直道EF，在四边形ABCD面积最大的前提下，EF平分五边形ABCDE的面积．请问：是否存在满足设计要求的点E和点F？若存在，求出此时EF的长度；若不存在，请说明理由．（点A，B，C，D，E，M，F在同一平面内，直道AD，BD，EF的宽度均忽略不计，结果保留根号）
$德优题库$

共享时间:2025-04-24 难度:1 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷白板

196948. （2024•交大附中•九上期末）【问题提出】
（1）如图1，在线段AB的上方画出一点C，使得∠ACB＝60°．
【问题探究】
（2）如图2，在矩形ABCD中，

，AD＝6．点P是圆心角为120°的圆弧AD上的一点，点E在BC边上，且BE＝1．连接EP，求EP的最大值．
【问题解决】
（3）如图3，四边形ABCD是一个仓库的平面图，设计者想在DC边上的点E处安装一个监测仪，以监测门口AB处人员进出情况，此时∠AEB＝45°．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，∠BCD＝60°，CE＝2DE＝24米．求此时监测仪E到大门AB的水平距离．

共享时间:2024-02-20 难度:1 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷白板

210524. （2025•师大附中•五模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，过BC上一点D作DE⊥AB于点E，过点C作⊙O的切线交ED的延长线于点F．
（1）求证：∠DCF＝∠CDF；
（2）若D为BC的中点，⊙O的半径为5，cos∠CDF＝

，求CF的长．

共享时间:2025-05-05 难度:1 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷白板

210526. （2025•师大附中•五模）问题探究
（1）如图1，在△ABC中，BC＝4，∠BAC＝60°，O是△ABC的外接圆的圆心，则OA的长为　．
问题解决
（2）如图2，矩形ABCD是一个公园，其中AB＝100米，AD＝60米，P为CD中点．现计划在公园中修建两座雕塑M、N，要求M、N间距为40米，且MN∥AB．为便于灯光布置，还要求M、N的位置满足∠MPN＝45°．同时计划从入口处A到雕塑M之间建一条小路AM，为节约建设成本，小路AM应尽可能短．请求出小路AM长的最小值．（点M、N、P与矩形ABCD在同一平面内，道路AM的宽度与雕塑M、N及入口A的大小均忽略不计，结果保留根号）

共享时间:2025-05-05 难度:1 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷白板

210578. （2025•师大附中•三模） $德优题库$ 综合与实践
在初中数学的学习过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验．对“图形T到图形U的最近距离”进行研究．
定义：平面内，M为图形T上任意一点，N为图形U上任意一点，将M，N两点间距离的最小值称为图形T到图形U的最近距离，记作d（T-U）．
例如：在平面上有A、B两点，且AB=2，将点A记为图形T，点B记为图形U，则d（T-U）=AB=2．
数学理解：
（1）在平面内有A、B两点，将点A记为图形T，以点B为圆心，5为半径作⊙B，将⊙B记为图形U，若d（T-U）=2，则AB= ．
（2）在平面直角坐标系中，D，E两点的坐标分别为（5，5），（5，-5），将△DOE记为图形T；P的坐标为（t,0），⊙P的半径为2，将⊙P记为图形U，若d（T-U）=1，则t的值为．
推广运用：
（3）如图，正方形ABCD的边长为2，点E为其内一点，且点E与点B的距离为1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，将点A记为图形T，将满足条件的点F构成的图形记为图形U，求d（T-U）的值．

共享时间:2025-04-11 难度:1 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷白板

210734. （2025•雁塔区•三模）问题提出
（1）如图1，在半圆O中，直径AB＝8，C为

上一点，连接AC，CO，则△AOC的最大面积为．
问题探究
（2）如图2，在⊙O中，半径r＝6，

，M为BD上的一点，过点M作一直线AC，AC与BD的夹角成60°，即∠AMB＝60°），与⊙O分别交于A，C两点，求四边形ABCD的最大面积．
问题解决
（3）如图3，有一块半圆形的板材，工人师傅需要将板材进行切割．根据要求需要在半径OA上选取一点C，从点C沿着线段CE进行切割，CE与AB的夹角为45°（即∠ACE＝45°），然后在半径OB上选取一点D，从点D沿着线段DF进行切割，且DF与AB的夹角也为45°，即∠BDF＝45°，同时，在切割的过程中始终保持

所对的圆心角为135°，已知直径AB的长为80cm，记切割掉的图形ACE与图形BDF的面积之和为S，S是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2025-04-05 难度:1 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷白板

210760. （2025•曲江一中•五模）（1）如图①，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交成的锐角为60°．若AC=10，BD=8，求平行四边形ABCD的面积．
（2）如图②，是某公园的圆形空地，O为圆心，AB为⊙O直径，AB=200m,规划部门计划在空地内建一个牡丹园，根据设计要求：点D和点E，点G和点F分别关于AB对称，DF与GE交于点C，且DF⊥EG，四边形DEFG为牡丹园，设AC的长为x（m），牡丹园DEFG的面积为S（m²）．
①求S与x之间的函数关系式；
②已知种植牡丹园每平方米的费用为20元，政府预算为45万元，请通过计算说明政府的预算是否一定够用？
$德优题库$

共享时间:2025-05-12 难度:1 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷白板

210812. （2025•曲江一中•三模）【问题提出】
（1）如图1，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝12，点E为AD的中点，点P为矩形ABCD内以BC为直径的半圆上一点，则PE的最小值为　　；
【问题探究】
（2）如图2，在△ABC中，AD为BC边上的高，且AD＝BC＝4，P为△ABC内一点，当

时，求PB+PC的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，滨河学校餐厅门口有一块“疯狂四季”四边形菜园ABCD，∠ABC＝∠BAD＝60°，AC与BD相交于点P，且AD+BC＝AB，过点A作直线BC的垂线交直线BC于点E，即AE⊥BE，BE＝200

米，赵老师准备在△ABP内种植当季蔬菜，边BE的中点F为菜园出入口，为了种植方便，她打算在AE边上取点M，并沿PM、MF修两条人行走道，要求人行走道的总长度尽可能小，问PM+MF的长度是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2025-04-01 难度:1 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷白板

210864. （2025•曲江一中•四模）【问题提出】
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是边BC上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则EF的最小值为　　．
【问题探究】
（2）如图②，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝4，AC＝3

，点D是BC边上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，⊙O是四边形AEDF的外接圆，求⊙O直径的最小值．
【问题解决】
（3）某小区内有一块形状为四边形的空地，如图③所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，∠B＝60°，AD＝200

米，AB＝400

米，点E在CD上，且CE＝2DE，F、G分别是边AB、BC上的两个动点，且∠FEG＝60°．为了改善人居环境，小区物业准备在尽可能大的四边形BFEG区域内种植花卉，请问这个四边形BFEG区域的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2025-04-30 难度:1 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷白板

210968. （2025•高新一中•五模）【问题提出】
（1）如图①，在△ABC中，AB=6，C是⊙O上任意一点，若⊙O的半径为2，点O到AB的距离为5，则△ABC面积的最小值为；
【问题解决】
（2）如图②，四边形ABCD是一块平行四边形空地，经测量AB=300m,BC=600m,∠BAD=120°．为了打造特色景观，规划部门设计在四边形ABCD内一点M处建一座凉亭，凉亭四周修建四条观赏步道（步道宽度忽略不计），分别为AM，BM，CM，DM，且∠ABM=∠MCB．步道将空地分为四个区域，计划种植不同的花卉，其中△AMD区域种植牡丹，为节约成本，要求△AMD面积尽可能的小．请问：是否存在符合要求的三角形区域？若存在，求出△AMD面积的最小值；若不存在，请说明理由．
$德优题库$

共享时间:2025-05-12 难度:1 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷白板

211098. （2025•唐南中学•三模）问题提出
（1）如图①，△ABC内接于⊙O，过点C作⊙O的切线l,在l上任取一点P，连接BP，AP，则∠BCA ∠BPA．（填写“＞”“＜”或“=”）
问题探究
（2）如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12，在边AD上，是否存在一点P，使得sin∠BPC的值最大？若存在，求出此时sin∠BPC的值；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）如图③，有一长为2米的移动粑AB从地面上的点O处沿45°方向飞行，在距点O．水平方向60米的M处上方，建有一射击台点P（设计台的大小忽略不计），MP=4米，当∠APB最大时更容易击中靶子，请求出此时的AO长及sin∠APB的值．
$德优题库$

共享时间:2025-04-02 难度:1 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷白板

195801. （2025•阎良区•九上期末）【问题提出】
（1）如图1，在扇形MAB中，点M为扇形所在圆的圆心，点P为

上一动点，连接AB，MP，AB与MP相交于点Q，若

，BM＝9，求PQ的最大值；【问题解决】
（2）如图2，某公园有一圆形水池⊙O，AB，AD是水池上的两座长度相等的小桥，且∠BAD＝60°，现规划人员计划再修建两座小桥BC和CD，桥的入口C在水池边上（即点C在⊙O上），为使游客观赏效果最佳，要求四座桥围成的四边形ABCD面积最大，已知AB＝AD＝60m，修建小桥的成本为100元/m，当四边形ABCD的面积最大时，求修建BC和CD两座小桥的总成本．

共享时间:2025-02-24 难度:1 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷白板

211150. （2025•阎良区•一模）【问题提出】
（1）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝95°，则∠D的度数为　　 °；
【问题探究】
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝23，BC＝30，点P在边AD上，且AP＞DP，连接BP、CP，tan∠BPC＝

，求PC的长；
【问题解决】
（3）2025年3月9日，国家卫生健康委员会相关负责人在十四届全国人大三次会议民生主题记者会上表示，实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式，加强慢性病防治．某市为积极响应国家号召，拟开设一所健康管理中心，其设计示意图如图3所示，在四边形ABCD中，对角线AC为一条走廊，在边AB和走廊AC上分别取点F、E，连接DF交AC于点P，并规划△PEF区域为咨询中心，△PDE区域为评估中心，其他区域为实训中心．根据设计要求，点D到AC的距离为70米，tan∠BAC＝