如图已知为直线上一点动点在直线上在的右侧且满足在外部且平分交于点如图若求的度数如图若射线上有一点满足请探究与之间的数量关系并说明理由如图若射线从与射线重合的位置出发绕点以每秒的速度顺时针旋转同时射线从与射线重合的位置出发绕点以每秒的速度逆时针旋转设旋

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180024. （2024•师大附中•七下二月）如图，已知AB∥CD，O为直线CD上一点，动点E，F在直线AB上（F在E的右侧）且满足∠EOF=30°，OM在∠EOF外部且OM平分∠EOD，ON⊥OM交AB于点N．
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（2）如图2，若射线OM上有一点H满足∠MFH=2∠FOH，请探究∠FHO与∠ENO之间的数量关系并说明理由；
（3）如图3，若∠FEO=70°，射线FP从与射线FE重合的位置出发，绕点F以每秒5°的速度顺时针旋转，同时射线OQ从与射线OE重合的位置出发，绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转，设旋转的时间为t秒（0≤t≤72），当射线FP和射线OQ平行时，求出t的值．
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共享时间:2024-06-28 难度:2

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[考点]

一元一次方程的应用，平行线的性质，

[答案]

（1）∠ENO的度数为36°；

（2）∠FHO与∠ENO之间的数量关系为3∠ENO+∠FHO＝210°或∠ENO﹣∠FHO＝30°；

（3）t的值为

或

．

[解析]

解：（1）∵∠EOF＝30°，∠FOM＝24°，
∴∠EOM＝54°，
∵OM平分∠EOD，
∴∠EOD＝2∠EOM＝108°，
∵ON⊥OM，
∴∠EON＝90°﹣∠EOM＝36°，
∴∠NOC＝180°﹣∠EON﹣∠EOD＝36°，
∵AB∥CD，
∴∠ENO＝∠NOC＝36°，
∴∠ENO的度数为36°；
（2）当H在线段OM上时，如图：

设∠FOH＝α，则∠MFH＝2α，
∴∠EOM＝30°+α＝∠MOD，
∵AB∥CD，
∴∠FMH＝∠MOD＝30°+α，
∴∠FHO＝∠MFH+∠FMH＝2α+30°+α＝30°+3α，
∵ON⊥OM，
∴∠ENO＝90°﹣∠FMH＝90°﹣（30°+α）＝60°﹣α，
∴3∠ENO+∠FHO＝3（60°﹣α）+（30°+3α）＝210°；
∴∠FHO与∠ENO之间的数量关系为3∠ENO+∠FHO＝210°；
当H在线段OM的延长线上时，如图：

设∠FOH＝β，则∠MFH＝2β，
同理可得∠EOM＝∠MOD＝∠FMO＝30°+β，
∴∠FHO＝∠FMO﹣∠MFH＝30°﹣β；
∵∠MON＝90°，
∴∠ENO＝90°﹣∠FMO＝60°﹣β；
∴∠ENO﹣∠FHO＝30°，
综上所述，∠FHO与∠ENO之间的数量关系为3∠ENO+∠FHO＝210°或∠ENO﹣∠FHO＝30°；
（3）∵∠FEO＝70°，∠EOF＝30°，
∴∠EFO＝80°，
当0≤t≤36时，FP在直线AB上方，OQ在OE左侧，
如图：

此时∠PFO+∠QOF＝180°，
即5°t+80°+3°t+30°＝180°，
解得t＝

；
如图：

此时∠PFO＝∠QOF，
∴360°﹣（80°+5°t）＝30°+3°t，
解得t＝

；
当36＜t≤56时，FP在直线AB下方，OQ在OE左侧，
如图：

此时∠PFO+∠QOF＝180°，
∴80°﹣（360°﹣5°t）+30°+3°t＝180°，
解得t＝

；
当56＜t≤72时，FP在直线AB下方，OQ在OE右侧，
如图：

此时PF与OQ不可能平行；
综上所述，t的值为

或

．

[点评]

本题考查了"一元一次方程的应用，平行线的性质，"，属于"必考题"，熟悉题型是解题的关键。

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dyczsxyn

2024-06-28

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