数学模型如图在矩形中点分别在边上垂足为点则模型探究如图在平行四边形中点分别在边上与交于点且请证明拓展应用如图白云小区有一块四边形绿地为了居民出行方便计划在四边形中修两条小路在边上取一点连接与交于点即为规划的两条小路其中

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174006. （2024•西工大附中•九上一月）【数学模型】（1）如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E、F分别在边AD、AB上，CE⊥DF，垂足为点O，则

＝　　．
【模型探究】（2）如图2，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AD、AB上，DF与CE交于点O，且∠FOC＝∠A，请证明：DF•AB＝AD•CE；
【拓展应用】（3）如图3，白云小区有一块四边形绿地ABCD，为了居民出行方便计划在四边形ABCD中修两条小路，在边AD上取一点E，连接DB与CE交于点O，BD、CE即为规划的两条小路，其中AD＝155m，AB＝70m，∠A＝∠BCD＝∠BOC＝120°，且

，求两条小路长度的比，即求

的值．

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[考点]

相似形综合题，

[答案]

（1）

；

（2）证明见解析；

（3）

．

[解析]

（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠CDE＝90°，AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，
∴∠AFD+∠ADF＝90°，
∵CE⊥DF，
∴∠EOD＝90°，
∴∠ADF+∠CED＝90°，
∴∠CED＝∠AFD，
∴△DAF∽△CDE，
∴

，
∵AD＝5，CD＝3，
∴

，
故答案为：

；
（2）证明：∵∠FOC＝∠A，∠DOE＝∠FOC，
∴∠DOE＝∠A，
又∵∠ODE＝∠ADF，
∴△ODE∽△ADF，
∴

，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，AB＝CD，
∴∠A+∠ADC＝180°，
又∵∠FOC+∠COD＝180°，
∴∠ADC＝∠COD，
∵∠DCE＝∠OCD，
∴△DCE∽△OCD，
∴

，
∴

，
∴DF•AB＝AD•CE；
（3）解：如图所示，过点C作CN∥AD交AB延长线于N，过点D作DM∥AB交NC延长线于M，则四边形DANM是平行四边形，

∴∠M＝∠A＝120°，DM＝AN，

，
同（2）可得

，
在NM上取一点P使得NB＝NP，连接BP，
∵AD∥MN，∠A＝120°，
∴∠N＝60°，
∴△NBP是等边三角形，
∴BP＝NB＝NP，∠BPN＝60°，
∴∠BPC＝120°＝∠M；
∵∠BCD＝120°，
∴∠PCB+∠PBC＝60°＝∠PCB+∠MCD，
∴∠PBC＝∠MCD，
∴△PBC∽△MCD，
∴

，
设DM＝3x m，则PC＝4x m，BP＝PN＝BN＝AN﹣AB＝（3x﹣70）m，
∴

，
∵MN＝PN+PC+CM＝155（m），
∴

，
解得x＝30，
∴DM＝3x＝90（m），
∴

．

[点评]

本题考查了"相似形综合题，"，属于"基础题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

191998. （2023•陆港中学•九上二月）问题提出：
（1）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，则当AB边上的高为　　时，△ABC的面积最大；
问题探究：
（2）如图2，在直角三角形ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AB＝2，点D、E分别为BC、AB边上的动点，且

，连接AD、CE，交于点P，
①求证：△CAE∽△ABD；
②求∠APC的度数及△ACP面积的最大值．
问题解决：
（3）如图3，为进一步落实“双减”，让学生在课间十分钟动起来，我校将在一片空地上建如图所示的四边形活动场地（即四边形ADBC）．其中，C、D分别为场地的入口和出口，

米，∠ACB＝90°，AC＝BC，且∠ADB＝30°．已知建设成本为每平方米10元，求建设满足要求的场地，最多需要投入多少元？

共享时间:2023-12-20 难度:1 相似度:2

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175092. （2024•西安三中•九上一月）三角形的布洛卡点（ Brocardpoint）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．LCrelle1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（ Brocard1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．如图1，若△ABC内一点P满足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝∠α，则点P是△ABC的布洛卡点，∠α是布洛卡角．
（1）如图2，点P为等边三角形ABC的布洛卡点，则布洛卡角的度数是　　；PA、PB、PC的数量关系是　　；
（2）如图3，点P为等腰直角三角形ABC（其中∠BAC＝90°）的布洛卡点，且∠1＝∠2＝∠3．
①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明；
②若△ABC的面积为

，求△PBC的面积．

共享时间:2024-10-18 难度:1 相似度:2

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190645. （2025•二十六中•九上期末） $德优题库$ 【问题提出】
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在边AC上，DE⊥AB于点E．若AB=5，BC=AD=3，求AE的长．
【问题解决】
（2）如图②，有一块边长为30m的正方形花园，点D，E为花园的入口，且BE=10m,连接BD．若在△BCD区域内设计一个亭子F（亭子的大小忽略不计），满足AF=AB，从入口到亭子铺设两条景观路DF和EF．已知铺设小路DF所用的景观石材每米的造价是200元，铺设小路EF所用的景观石材每米的造价是300元，求铺设小路DF和EF的最低造价及此时亭子F到边AB的距离．

共享时间:2025-03-01 难度:1 相似度:2

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190118. （2025•未央区•九上期末）【问题提出】
如图①，在△ABC中，D是边AB上的点，E是边AC上的点，连接BE，CD交于点F，若

，求

的值．
（1）猜想证明：小明想过点E作EG∥AB交CD于点G．请你根据他的思路，写出解答过程．
【问题探究】
（2）如图②，在△ABC中，点D是边AB上的点，点E是边CA延长线上的点，连接BE，CD，BE交CD的延长线于点F．若

，且△ACD的面积为2，求四边形ADFE的面积．
【问题解决】
（3）如图③，某市区需要改造一个矩形公园ABCD，其中两个门的位置点E，F分别在边BC，CD上，AB＝3千米，AD＝6千米，根据改造要求，需要增加步行通道DE，且DE与原步行通道AF，BF交于点P，Q，将PQ改造为休息长廊，由设计图知CF＝2DF，CE＝2BE，求休息长廊PQ的长．

共享时间:2025-02-07 难度:1 相似度:2

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190066. （2025•西咸新区•九上期末）【问题探究】
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E，F是AB的中点，连接DF、EF，EF交AD于点G，AB＝4，AE＝3．
①求线段CD的长；
②求线段DG的长．
【问题解决】
（2）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图2，△ABC是某校一块劳动实践基地的示意图，图中AB＝AC，sinB＝

，BC的中点D处有一个出口，学校计划对该基地进行重新扩建规划，在BD上取点E，AC的延长线上取点F，过F作FM∥AB交BC的延长线于点M，并将△DMF和△ABE区域规划为幼苗种植区，根据规划要求，BE＝CF，∠BAE＝∠CDF，为了精准预算，学校需要知道DE与AB的数量关系，请你帮助学校计算出

的值．

共享时间:2025-02-08 难度:1 相似度:2

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179632. （2024•西工大附中•九上期中）（1）如图1，正方形ABCD和正方形BHGF，其中D，G，F三点共线，延长BG交CD于E，连结AH．若CE＝2，DE＝6，则tan∠DBE＝　；
（2）在（1）的条件下，如图1，求

的值；
（3）如图2，正方形ABCD和正方形BHGF，P是AB中点，连结CP，F恰在CP上，连结DG、AG，若AB＝3，当AG最小时，求正方形BHGF的边长．

共享时间:2024-11-22 难度:1 相似度:2

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179457. （2024•高新一中•九上期中）问题提出
（1）如图1，四边形ABCD为矩形，点E为边BC上的一点，连接AE，过E作EF⊥AE交边CD于点F，若AB＝4，EC＝3，则

的值为　．
问题探究
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝6，

，Rt△AEF的直角顶点E在边BC上，顶点F在边CD上，若

，求CF的长．
问题解决
（3）如图3，是四边形ABCD是某科技园示意图，其中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝200m，AB＝400m，BC＝500m，点F是大门，CF＝300m，现需要在边BC上安装一个监控E，对道路AD、DF进行全天监控，监控E的角度为∠AEF，且

，监控E是否存在符合要求的安装位置，若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．

共享时间:2024-11-21 难度:1 相似度:2

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175930. （2024•交大附中•九上一月）在平行四边形ABCD中，AD＝8，DC＝6，∠FED的顶点在BC上，EF交直线AB于F点．
（1）如图1，若∠FED＝∠B＝90°，BE＝5，求BF的长；
（2）如图2，在AB上取点G，使BG＝BE，连接EG，若∠B＝∠FED＝60°，求证：

；
（3）如图3，若∠ABC＝90°，点C关于BD的对称点为点C'，CC′交BD于点M，对角线AC、BD交于点O，连接OC'交AD于点G，求AG的长．

共享时间:2024-10-16 难度:1 相似度:2

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174916. （2024•滨河中学•九上一月）如图，∠AOB＝90°，点P在∠AOB的角平分线上，PA⊥OA于点A．

（1）【操作判断】
如图①，过点P作PC⊥OB于点C，在图①中画出PC，则四边形OAPC的形状是　正方形　；
（2）【问题探究】
如图②，点M在线段AO上，连接PM、OP．过点P作PN⊥PM交射线OB于点N．试猜想OM、ON、OP之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）【拓展延伸】
点M在射线AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，射线NM与射线PO相交于点F，若ON＝3OM，求

的值．

共享时间:2024-10-21 难度:1 相似度:2

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174031. （2024•西工大附中•九上二月）【问题提出】
如图1，已知AB∥DE，AE与BD交于点C，AC：CE=2：3，若AB=8，则DE= ．
【问题探索】
如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转一定角度得△ACE，连接BC，DE．求证：△ABC∽△ADE．
【问题解决】
某旅游度假山庄准备开发一块四边形用地，将其设计为“种植体验园”．如图3，已知四边形用地ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=CD，点E在边BC上，且AE⊥BC于点E，其中△ABE为“蔬菜种植体验区”，四边形AECD为“果树种植体验区”，为了增强游客的体验感，在园区内铺设三条“观光主干道”（道路宽度忽略不计），三条观光主干道围成△EFG，点F在AB边上，满足AF：BF=1：3，EF=300米，点G为CD边中点，按照设计要求，主干道FG要尽量长，求FG最大值．
$德优题库$

共享时间:2024-12-10 难度:1 相似度:2

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173458. （2024•西光中学•九上一月）问题情境：
数学活动课上，学习小组进行探究活动，老师给出如下问题：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，且AD＞BD，点E是边AC上一动点（点E不与点A、点C重合），连接DE，过点C作CF⊥DE交线段AD于点F．
各小组在探究过程中提出了以下问题：
（1）“智慧小组”提出问题：
如图①，求证：△DCE∽△FBC．
请你写出证明过程；
（2）“奋进小组”受到探究过程的启发，提出问题：
如图②，若FC=FB，BD=1，CD=2，求△DCE的面积．
请你写出解答过程；
$德优题库$
（3）“善思小组”学以致用提出问题：
若BD=3，CD=4，CF交线段ED于点G，连接EF，且△EFG与△CDG相似，求CE的长．请你利用答题卡中的备用图补全图形，并写出解答过程．

共享时间:2024-10-27 难度:1 相似度:2

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173432. （2024•新城一中•九上二月）（1）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDC＝90°，连接AD，BE，则

＝　　．
（2）如图2，正方形ABCD的边长为8m，E为边AB上一动点，以CE为斜边在正方形ABCD内部作等腰直角△CEF，∠CFE＝90°，连接DF，求∠CDF的度数．
（3）在（2）的条件下，如图3，连接DE，求△DEF面积的最大值．

共享时间:2024-12-12 难度:1 相似度:2

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173059. （2024•高新四中•九上一月）问题背景如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
尝试应用如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，

＝

，求

的值；
拓展创新如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2

，直接写出AD的长．

共享时间:2024-10-11 难度:1 相似度:2

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172964. （2024•高新一中•九上二月）问题提出：
（1）如图1，已知线段OA＝4，点B到点O的距离是2，则线段AB的取值范围是　2≤AB≤6　；
问题探究：
（2）如图2，已知在△ABC中，BC＝2AB，在线段BC上找一点P，使得△ABP∽△CBA（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
问题解决：
（3）如图3，菱形ABCD是一个军事基地的平面图，AB＝40km，∠ABC＝60°，动点P为基地内一个可移动的信号车，且到雷达站B点的距离为20km．当观测站D发现敌情时，会以1km/s的速度向P发射预警信号，P点接收信号后立即以2km/s的速度向指挥中心C点发出战备信号．假设信号以直线传播，且P点信号转换的时间忽略不计，求观测站信号传送到指挥中心时间的最小值．

共享时间:2024-12-21 难度:1 相似度:2

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172945. （2024•高新一中•九上一月）问题提出
（1）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝2∠C，BD为△ABC的角平分线，则图中相等的线段是　BD＝CD　，

的值是　

　．
问题解决
（2）如图2，现有一块四边形板材ABCD，∠A＝∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝8，AD＝4，工人师傅想用这块板材裁出一个三角形部件BCP，使得点P在四边形ABCD的边上，且△BCP的一个内角等于另一个内角的2倍，他在这块板材上的作法如下：
第一步：作边BC的垂直平分线DR交BC于点R；
第二步：作∠BCD的平分线交DR于点O；
第三步：连接BO并延长交DC于点P，得△BCP．
若按上述作法，裁得的三角形部件BCP是否符合要求？若符合，请求出△BCP的面积．若不符合，请给出一种符合要求的作法．

共享时间:2024-10-23 难度:1 相似度:2

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dyczsxyn

2024-10-27

初中数学 | 九年级上 | 解答题

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2024-2025学年陕西省西安市碑林区西北工大附中九年级（上）第一次月考数学试卷

更新:2024-10-27 06:38浏览量:35

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