如图矩形中为中点过点的直线分别与交于点连接交于点连接若则下列结论垂直平分其中正确的结论是填正确的序号

首页 > 试题列表 > 单题解析

173659. （2024•莲湖区•九上四月）如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE、BO，若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②DE＝EF；③S_△AOE：S_△BCM＝3：4；④S_△DEF：S_△BOM＝8：3，其中正确的结论是．（填正确的序号）

共享时间:2024-01-14 难度:4

纠错

下载

相似

组卷

[考点]

等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，

[答案]

①②④．

[解析]

解：①∵四边形ABCD是矩形，O是AC中点，
∴OB＝OC＝OA，
∵∠COB＝60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴OB＝BC，
∴B在OC的垂直平分线上，
∵FO＝FC
∴F在OC的垂直平分线上，
∵两点确定一条直线，
∴FB垂直平分OC，故①是正确的；
②由①可得，OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∴∠ACB＝90°﹣∠OAB＝60°，
∴∠ACD＝90°﹣∠ACB＝30°，
∵FO＝FC，
∴∠FOC＝∠ACD＝30°，
∴∠FOB＝∠FOC+∠COB＝90°，
∴∠OFB＝90°﹣∠OBF＝60°，OB⊥EF，
∵BF垂直平分OC，
∴∠CFM＝∠OFB＝60°，
∴∠DFE＝180°﹣2∠OFB＝60°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BEF＝∠DFE＝60°，
∴∠BEF＝∠OFB＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∵OB⊥EF，
∴OB垂直平分EF，
∵O是AC的中点，
∴连接OD，
∴B，O，D三点是共线的，O一定是BD的中点，
∴BD垂直平分EF，
∴DE＝DF，
∵∠DFE＝60°，
∴△DEF为等边三角形，
∴DE＝EF，故②是正确的；
③∵FB垂直平分OC，
∴∠CBM＝∠OBM＝30°，∠CMB＝90°，
又∠OBE＝90°﹣∠CBO＝30°，
∴∠CBM＝∠OBE，
过O作OH⊥BE于H，如图，

∴∠OHB＝∠CMB＝90°，
∴△OHB≌△CMB（AAS），
∴OH＝CM，
∵

，

，
∴

，
∵AB∥CD，
∴∠OCF＝∠OAE，∠OFC＝∠OEA，
∴△OFC∽△OEA，
∴

，
∴AE＝FC，
设FM＝a，
在直角△FCM中，

，
∴FC＝2FM＝2a，
同理，BF＝2FC＝4a，
∴BM＝BF﹣FM＝3a，AE＝FC＝2a，
∴S_△AOE：S_△BOM＝AE：BM＝2：3，
∴是③错误的；
④∵△DEF与△BEF是等边三角形，
∴DE＝DF＝EF＝BE＝BF，
∴四边形DEBF是菱形，
由③可得，菱形的边长DF＝BF＝4a，
在Rt△BCF中，

，
∴

，
在△BOM中，

，
∴

，
∴S_△DEF：S_△BOM＝8：3，故④正确，
综上所述正确答案为①②④．
故答案为：①②④．

[点评]

本题考查了"等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，"，属于"综合题"，熟悉题型是解题的关键。

转载声明：

本题解析属于发布者收集录入，如涉及版权请向平台申诉！！版权申诉

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

25725. （2023•西工大附中•六模）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E为AD上一点，且AE=5，过点E作EF⊥AC于F，交BC于点G，则四边形ABGF的面积为．
$德优题库$

共享时间:2024-03-13 难度:3 相似度:1.4

解析

纠错

下载

组卷

174801. （2024•灞桥区•九上一月） $德优题库$ 如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA，PB，PC，PD，得到△PAB，△PBC，△PCD，△PDA，设它们的面积分别是S₁，S₂，S₃，S₄．给出以下结论：①S₁+S₄=S₂+S₃；②S₂+S₄=S₁+S₃；③若S₃=2S₁，则S₄=2S₂，其中正确结论的序号是．

共享时间:2024-10-27 难度:1 相似度:1.2

解析

纠错

下载

组卷