问题提出如图为直线上方两点垂足分别为为直线上一点且点到两点距离相等已知求的长问题解决某市进行河滩治理优化生态环境如图所示现规划在河畔的一处滩地上修建一个五边形河畔公园按设计要求要在五边形河畔公园内挖一个四边形人工湖使点分别在边上且满足已知五边形中

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173342. （2024•爱知中学•九上一月） $德优题库$ 问题提出：
（1）如图1，A、C为直线l上方两点，AB⊥l,CD⊥l,垂足分别为B，D，E为直线l上一点，且点E到A，C两点距离相等，已知：AB=7，CD=20，BD=39，求DE的长；
问题解决：
（2）某市进行河滩治理，优化生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上修建一个五边形河畔公园ABCDE．按设计要求，要在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO=2AN=2CP，AM=OC．已知五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=90°，AB=800m,BC=1200m,CD=600m,AE=900m.为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，要让人工湖形状为矩形．请问，是否存在符合设计要求的四边形人工湖OPMN？若存在，求此时四边形OPMN面积及这时点N到点A的距离；若不存在，请说明理由．

共享时间:2024-10-12 难度:3

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[考点]

勾股定理的应用，多边形，矩形的判定，

[校正]

[答案]

（1）DE的长为15；

（2）存在，符合设计要求的四边形OPMN面积为

平方米，此时，点N到点A的距离为

米．

[解析]

解：（1）设DE＝x，则BE＝39﹣x．
∵AB⊥l，CD⊥l
∴∠ABE＝∠EDC＝90°
∵AE＝CE．
∴7²+（39﹣x）²＝x²+20²．
解之，得x＝15．
∴DE的长为15．
（2）存在，如图，过点A作AF⊥BC于F，连接OM，

由题知AN＝CP，AM＝OC，∠A＝∠C＝90°，
∴△AMN≌△COP，
∴MN＝PO，∠AMN＝∠COP，
∵∠A＝∠B＝90，
∴AE∥BC，
∴∠AMO＝∠COM，
∴∠NMO＝∠POM，
∴MN∥PO，
∴四边形OPMN为平行四边形
设AN＝x米，则BO＝2x米，BN＝（800﹣x）米，AM＝OC＝（1200﹣2x）米，
∴MN²＝x²+（1200﹣2x）²，ON²＝（2x）²+（800﹣x）²，
过点M作MF⊥BC，
∵MF⊥BC，
∴∠BFM＝90°，
∵∠A＝∠B＝90°
∴四边形ABFM为矩形．
∴BF＝AM＝1200﹣2x，MF＝AB＝800，
∴OF＝4x﹣1200，
∴OM²＝800²+（4x﹣1200）²
要使四边形OPMN为矩形，只要使∠MNO＝90°，
∴ON²+MN²＝OM²，
∴x²+（1200﹣2x）²+（2x）²+（800﹣x）²＝800²+（4x﹣1200）²
∴x＝0（舍）或

，即

米；
由勾股定理，得

，
∴

∴符合设计要求的四边形OPMN面积为

平方米，此时，点N到点A的距离为

米．

[点评]

本题考查了"勾股定理的应用，多边形，矩形的判定，"，属于"典型题"，熟悉题型是解题的关键。

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考点说明

灰色代表去掉的考点，绿色代表未变动的考点，红色代表新增的考点

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

175809. （2024•理工大附中•八上一月）如图，某海滨浴场岸边A处救生员发现海中的B处有人求救，救生员没有直接从A处游向B处，而是沿岸边自A处跑到离B处最近的点C（BC⊥AC），然后从点C游向B处，经测量AC＝40m，BC＝30m．若救生员在岸边行进的速度是5m/s，在海中行进的速度是2m/s，请分析救生员的选择合理吗？

共享时间:2024-10-21 难度:1 相似度:1.25

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175334. （2024•西安三中•八上二月） $德优题库$ 如图是某校操场上的旗杆，小明和小华想测量旗杆高度，他们设计的测量步骤如下：
①如图甲，底座截面是长方形，测出长方形的长CF=1.6m,高CD=0.3m,旗杆正好在底座的正中间（B是CF的中点）；（旗杆的直径忽略不计）将旗杆的绳子拉直垂直于底座时，发现拖在底座上的绳子长度恰好为BC的长；
②如图乙，将刚才拖到地上的绳子拉直至地面M处，使绳子底端恰好接触地面，测量出DM长为2m.请用以上数据计算出该校操场上旗杆的高度．

共享时间:2024-12-22 难度:1 相似度:1.25

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173505. （2024•西工大附中•八上一月）笔直的河流一侧有一旅游地点G，河边有两个漂流点A、B，且点A到点B的距离等于点A到点G的距离．近阶段由于点G到点A的路线处于维修中，为方便游客决定在河边新建一个漂流点C（点A、B、C在同一条直线上），并新建一条路GC，测得BG＝5km，GC＝4km，BC＝3km．
（1）判断△BCG的形状，并说明理由；
（2）求原路线GA的长．

共享时间:2024-10-24 难度:1 相似度:1.25

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173554. （2024•铁一中学•八上一月）如图，小明为了测得学校旗杆AB的高度，他先将旗绳拉直，绳尾端正好落在地面C点，此时，C点到杆底B点距离12m，他又将旗绳拉直到杆底部B点，此时，绳子多出一截BP，量得多出部分长度为4m，请你帮他计算出旗杆的高度．

共享时间:2024-10-18 难度:1 相似度:1.25

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173765. （2024•经开一校(原经发)•八上一月）我们学校有一块四边形空地，如图所示，现计划在这块空地上种植草皮，经测量∠ABC＝90°，AB＝20米，BC＝15米，CD＝7米，AD＝24米．若每平方米草皮需要200元，则共需要投入多少钱？

共享时间:2024-10-17 难度:1 相似度:1.25

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173792. （2024•高新陆港•八上一月）请构图求出代数式

的最小值为　　．

共享时间:2024-10-21 难度:1 相似度:1.25

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196107. （2025•西安八十三中•八上期末） $德优题库$ 劳动教育能够提升学生的智力与创造力、强壮学生的体格．实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形ABCD）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长13m（AC=13m）的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的AB边长5m,BC边长12m,蔬菜区的AD边长7m,∠D=90°．
（1）求蔬菜区边CD的长；
（2）求花卉区的面积．

共享时间:2025-02-02 难度:1 相似度:1.25

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174119. （2024•铁一中学•九上一月）如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．
（1）求

的值；
（2）当AB＝AC时，求证：四边形EFGD是矩形．

共享时间:2024-10-28 难度:1 相似度:1.25

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174196. （2024•铁一中学•八上一月）如图，在一条笔直的马路EF同侧有A，B两个小区，A小区到马路的垂直距离AC为10千米，B小区到马路的垂直距离BD为2千米，CD的长度为15千米．
（1）求A，B小区之间的距离；
（2）现要在线段CD上修建一个车站F，使得车站F到A，B两小区的距离相等，此时车站E应修建在离点C多远处？