已知正方体的棱长为点分别是的中点则直线是异面直线四面体的外接球表面积为三棱锥的体积为平面截正方体所得截面的面积为

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171883. （2023•长安区一中•高一下期中）已知正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱长为4，点E，F，M分别是BC，AA₁，BB₁的中点，则（　　）

A.直线A₁D，EF是异面直线

B.四面体A₁C₁BD的外接球表面积为48π

C.三棱锥A﹣MC₁D₁的体积为

D.平面DMC₁截正方体所得截面的面积为18

共享时间:2023-05-15 难度:4

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[考点]

棱柱、棱锥、棱台的体积，球的体积和表面积，平面的基本性质及推论，异面直线的判定，

[答案]

ABD

[解析]

解：如图，

∵AD₁⊂平面AA₁D₁D，F∈平面AA₁D₁D，F∉AD₁，E∉平面AA₁D₁D，
由异面直线的定义可知，直线A₁D，EF是异面直线，故A正确；
四面体A₁C₁BD的外接球即正方体的外接球，外接球半径为

，
∴四面体A₁C₁BD的外接球表面积为4π×

＝48π，故B正确；
连接BC₁，B₁C，则BC₁⊥B₁C，
∵AB⊥平面BCC₁B₁，B₁C⊂平面BCC₁B₁，∴AB⊥B₁C，
又AB∩BC₁＝B，AB，BC₁⊂平面ABC₁D₁，∴B₁C⊥平面ABC₁D₁，
又∵M为BB₁的中点，∴三棱锥M﹣AC₁D₁的高为

BC＝

，

＝

×4

×4＝8

，
∴

＝

×8

＝

，故C错误；
延长C₁M，CB交于点H，连接DH交AB于点N，连接MN，AB₁，
∵BB₁∥CC₁，M为BB₁的中点，则BM＝

CC₁，∴B为HC的中点，
∵AB∥CD，∴N为AB的中点，则MN∥AB₁，
∵AD∥B₁C₁，AD＝B₁C₁，∴AB₁C₁D为平行四边形，则AB₁∥DC₁，
可得MN∥DC₁，则平面DMC₁截正方体所得截面为等腰梯形MNDC₁，
在等腰梯形MNDC₁中，
DC₁＝4

，MN＝2

，DN＝MC₁＝2

，
则梯形MNDC₁高为

，
∴等腰梯形MNDC₁的面积为

＝18，故D正确．
故选：ABD．

[点评]

本题考查了"棱柱、棱锥、棱台的体积，球的体积和表面积，平面的基本性质及推论，异面直线的判定，"，属于"综合题"，熟悉题型是解题的关键。

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C.．

D.．

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B.存在点P，使得PC＝2

C.当PC＝1时，三棱锥P﹣BCD的外接球的表面积为

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