已知函数的定义域为且求的值求的值讨论函数的最小值

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170992. （2024•庆安中学（高）•高一上期中）已知函数f（x）的定义域为R，

，且2f（x+y）+f（x）f（y）＝9xy．
（1）求

的值；
（2）求

的值；
（3）讨论函数g（x）＝[f（x）]²+mx（﹣1≤x≤0）的最小值．

共享时间:2024-11-30 难度:2

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[考点]

求函数的最值，函数的值，

[答案]

（1）

；
（2）

；
（3）答案见解析．

[解析]

解：（1）因为2f（x+y）+f（x）f（y）＝9xy，
令

，则

，
又

，有

，故

．
（2）令

，有

，
即

，得f（1）＝1，
令

，有

，
即2×（﹣1）+（﹣1）f（0）＝0，得f（0）＝﹣2，
令x＝1，y＝﹣1，有2f（0）+f（1）f（﹣1）＝﹣9，
即2×（﹣2）+1×f（﹣1）＝﹣9，得f（﹣1）＝﹣5，
令y＝﹣1，有2f（x﹣1）+f（x）f（﹣1）＝﹣9x，
令y＝1，有2f（x+1）+f（x）f（1）＝9x，
则2f（x﹣1）+f（x）f（﹣1）＝﹣9x⇒2f（x）+f（x+1）f（﹣1）＝﹣9（x+1），
联立

，解得f（x）＝3x﹣2，
所以

．
（3）由（2）得，g（x）＝[f（x）]²+mx＝（3x﹣2）²+mx＝9x²+（m﹣12）x+4，
其图象开口向上，对称轴为

，又﹣1≤x≤0，
当

，即m≤12时，g（x）在[﹣1，0]上单调递减，则g（x）_min＝g（0）＝4；
当

，即m≥30时，g（x）在[﹣1，0]上单调递增，
则

；
当

，即12＜m＜30时，

．
综上所述，当m≤12时，g（x）的最小值为4，
当m≥30时，g（x）的最小值为25﹣m，
当12＜m＜30时，4﹣

．

[点评]

本题考查了"求函数的最值，函数的值，"，属于"必考题"，熟悉题型是解题的关键。

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171572. （2023•滨河中学•高一上期中）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：
①f（3）＝0；
②∀x，y＞0，f（xy）＝f（x）+f（y）+2；
③当x∈（0，1）时，f（x）＜﹣2．
（1）求

；
（2）求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（3）若实数a＞0，

在

上恒成立，求a的取值范围．

共享时间:2023-11-16 难度:4 相似度:0.75

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2024-11-30

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更新:2024-11-30 01:00浏览量:8