数学中有许多形状优美寓意美好的曲线曲线就是其中之一如图给出下列三个结论曲线恰好经过个整点即横纵坐标均为整数的点曲线上任意一点到原点的距离都不超过曲线所围成的心形区域的面积小于其中所有正确结论的序号是

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170415. （2022•长安区一中•高二上期末）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x²+y²＝1+|x|y就是其中之一（如图），给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过

；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．
其中，所有正确结论的序号是　　．

共享时间:2022-02-04 难度:2

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[考点]

命题的真假判断与应用，曲线与方程，

[答案]

①②．

[解析]

解：根据题意，曲线C：x²+y²＝1+|x|y，
用（﹣x，y）替换曲线方程中的（x，y），方程不变，所以曲线C关于y轴对称，
对于①，当x≥0时，x²+y²＝1+|x|y，即为，x²+y²＝1+xy≤1+

，可得x²+y²≤2，
所以曲线经过点（0，1），（0，﹣1），（1，0），（1，1），
再根据对称性可知，曲线还经过点（﹣1，0），（﹣1，1），故曲线恰好经过6个整点，①正确；
对于②，由上可知，当x≥0时，x²+y²≤2，即曲线C右侧部分的点到原点的距离都不超过

，
再根据对称性可知，曲线C上的所有点到原点的距离都不超过

，②正确；
对于③，因为在x轴上方，图形面积大于四点（﹣1，0），（1，0），（1，1），（﹣1，1）围成的矩形面积1×2＝2，
在x轴下方，图形面积大于三点（﹣1，0），（1，0），（0，﹣1）围成的等腰直角三角形的面积

×2×1＝1，
所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3，③错误．
故答案为：①②．

[点评]

本题考查了"命题的真假判断与应用，曲线与方程，"，属于"易错题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

170439. （2022•长安区一中•高二上期末）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x²+y²＝1+|x|y就是其中之一（如图），给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过

；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．
其中，所有正确结论的序号是　　．

共享时间:2022-02-23 难度:2 相似度:2

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237656. （2019•西工大附中•高二上期中）下面关于曲线C：

＝1的几何性质，正确的有　　（填序号）．
①|x|≤1，|y|≤1；
②曲线C有且仅有x，y轴两条对称轴、一个对称中心；
③曲线C上所有点在平面区域|x|+|y|≤1内部（含边界）；
④曲线C上的点到原点的最近距离为

；
⑤曲线C的周长不小于4

．

共享时间:2019-11-17 难度:2 相似度:2

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237846. （2017•高新一中•高一上期中）已知函数f（x）＝log_a

（a＞0且a≠1）有下列四个结论．
①恒过定点；
②f（x）是奇函数；
③当a＞1时，f（x）＜0的解集为{x|x＞0}；
④若m，n∈（﹣1，1），那么f（m）+f（n）＝f（

）．
其中正确的结论是　　（请将所有正确结论的序号都填在横线上）．

共享时间:2017-11-20 难度:1 相似度:1.5

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170322. （2022•长安区一中•高一下期末）如图所示，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，点E是棱CC₁上的一个动点，平面BED₁交棱AA₁于点F．给出下列命题：
①存在点E，使得A₁C₁∥平面BED₁F；
②对于任意的点E，平面A₁C₁D⊥平面BED₁F；
③存在点E，使得B₁D⊥平面BED₁F；
④对于任意的点E，四棱锥B₁﹣BED₁F的体积均不变．
其中正确命题的序号是　．（写出所有正确命题的序号）．