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169229. （2025）若定义在R上的函数

，则称f（x）为Dirichlet函数对于Dirichlet函数f（x），下列结论中错误的是　　（填序号即可）
①函数f（x）为偶函数；
②对于任意x∈R，都有f[f（x）]＝1；
③对于任意两数x，y∈R，都有

；
④对于任意x∈R，都有f（x+1）＝f（x）．

共享时间:2025-05-02 难度:1

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[考点]

奇偶性与单调性的综合，

[答案]

③．

[解析]

解：定义在R上的函数

，则称f（x）为Dirichlet函数对于Dirichlet函数f（x），
①，若x∈Q，则﹣x∈Q，则f（﹣x）＝f（x）＝1；
若x∉Q，则﹣x∉Q，则f（﹣x）＝f（x）＝0；所以f（x）为偶函数，所以①正确．
②，由于f（x）∈{0，1}，所以f[f（x）]＝1，所以②正确．
③，不妨设

，
所以

，

，
此时

，所以③错误．
④，若x∈Q，则x+1∈Q，则f（x+1）＝f（x）＝1；
若x∉Q，则x+1∉Q，则f（x+1）＝f（x）＝0，
所以对于任意x∈R，都有f（x+1）＝f（x），④正确．
故答案为：③．

[点评]

本题考查了"奇偶性与单调性的综合，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。

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本题解析属于发布者收集录入，如涉及版权请向平台申诉！！版权申诉

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

167471. （2023•关山中学•高一上一月）已知函数y＝f（x）是R上的偶函数，对于任意的x∈R，都有f（x+4）＝f（x）+f（2）成立，当x₁，x₂∈[0，2]且x₁≠x₂时，都有

＞0．
则下列命题中，正确的为　　（把你认为正确的命题的序号都填上）
①f（2）＝0；②直线x＝﹣4是函数y＝f（x）的图象的一条对称轴；③函数y＝f（x）在[﹣6，﹣4]上为增函数；④函数y＝f（x）在[﹣6，6]上有四个零点．

共享时间:2023-10-11 难度:1 相似度:2

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167689. （2024•西安中学•五模）已知函数

，若f（a﹣1）+f（2a²）＞2，则a的取值范围为　　．

共享时间:2024-05-09 难度:1 相似度:2

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167937. （2023•师大附中•三模）设函数

，不等式f（sinx）＜f（cosx）的解集为　　．

共享时间:2023-04-08 难度:1 相似度:2

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170186. （2023•高新一中•高一下期末）已知定义在R上的函数f（x）在（﹣∞，1]上单调递增，若函数f（x+1）为偶函数，且f（3）＝0，则不等式f（x）＞0的解集为　　．

共享时间:2023-07-11 难度:1 相似度:2

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170968. （2024•曲江二中•高一上期中）已知偶函数f（x）的定义域为{x∈R|x≠0}，且有f（2x）＝8f（x），f（1）＝1，若对∀x₁，x₂∈（0，+∞），都有

，则不等式

的解集为　　．

共享时间:2024-11-24 难度:1 相似度:2

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171197. （2024•西安八十九中•高一上期中）已知偶函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且在（﹣∞，0）上是增函数，若f（﹣3）＝0，则不等式xf（x）≤0的解集是　　．

共享时间:2024-11-19 难度:2 相似度:1.5

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2025-05-02

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