已知椭圆的长轴为动点是椭圆上不同于的任一点点满足求点的轨迹的方程过点的动直线交于两点轴上是否存在定点使得总成立若存在求出定点若不存在请说明理由

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169102. （2020•西工大附中•三模）已知椭圆C₁：

的长轴为AB，动点P是椭圆上不同于A，B的任一点，点Q满足AP⊥AQ，BP⊥BQ．
（1）求点Q的轨迹C₂的方程；
（2）过点R（0，6）的动直线l交C₂于M，N两点，y轴上是否存在定点S，使得∠RSM+∠RSN＝π总成立？若存在，求出定点S；若不存在，请说明理由．

共享时间:2020-04-14 难度:5

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[考点]

椭圆，

[答案]

（1）

（y≠0）．
（2）y轴上存在定点S（0，2），使得∠RSM+∠RSN＝π总成立．

[解析]

解：（1）设P（x₀，y₀）（y₀≠0），Q（x，y），不妨设

，

，
∵AP⊥AQ，BP⊥BQ，
∴

，

，
∴

，
解得

，
代入

，得点Q的轨迹C₂的方程为

（y≠0）．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
假设存在这样的点S（0，t）满足∠RSM+∠RSN＝π，
当直线l的斜率存在时，设为y＝kx+6，代入椭圆

中，得（k²+2）x²+12kx+24＝0，
∴

，

，Δ＝144k²﹣96（k²+2）＝48（k²﹣4）＞0，
∵∠RSM+∠RSN＝π，
∴k_MS+k_NS＝0，
即

，即x₂（y₁﹣t）+x₁（y₂﹣t）＝x₂（kx₁+6﹣t）+x₁（kx₂+6﹣t）＝

，
∵k≠0，
∴t＝2，即S（0，2）；
当斜率不存在时，直线l也过（0，2）．
综上，y轴上存在定点S（0，2），使得∠RSM+∠RSN＝π总成立．

[点评]

本题考查了""，属于"压轴题"，熟悉题型是解题的关键。

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171867. （2022•西安中学•高二上期中）已知椭圆C：

的焦距为

，圆O：

经过点

．
（1）求椭圆C与圆O的方程；
（2）若直线l：y＝kx+m与椭圆C交于点A，B，其中m²＝2（k²+1），问：

是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．

共享时间:2022-11-21 难度:5 相似度:2

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2020-04-14

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