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168151. (2023•西工大附中•六模) 已知椭圆CAB分别为椭圆的上下顶点,点P为椭圆上异于点A的任一点,若|PA|的最大值仅在点P与点B重合时取到,在下列三个条件中能满足要求的条件有 _____.
条件①:过焦点且与长轴垂直的弦长为
条件②:点P与点B不重合时,直线PAPB的斜率之积为
条件③:F1F2分别是椭圆的左、右焦点,∠F1PF2的最大值是120°.
(1)选出所有满足要求的条件,说明理由并求出此时的椭圆方程;
(2)若过原点作与AP平行的直线l1,与BP平行的直线l2l1l2的斜率存在且分别与椭圆C交于MNEG四点,则四边形MENG的面积是否为定值?若为定值,求出该值;若非定值,求其取值范围.
共享时间:2023-05-19 难度:5
[考点]
椭圆的焦点和焦距,
[答案]
(1)答案见解析;
(2)
[解析]
解:(1)∵a>1,∴椭圆焦点在x轴上,则A(0,1),B(0,﹣1),
∵点P为椭圆上异于点A的任一点,设Px0y0),y0≠1,即

选条件①,过焦点且与长轴垂直的弦长为
x=±c
,解得a=4,
∴此时椭圆C的方程为
∵|PA|的最大值仅在点P与点B重合时取到,即y0=﹣1时|PA|取到最大值,
显然,此时当时,|PA|取到最大值,不满足点P与点B重合时|PA|取到最大值,
故条件①不满足题意;
选条件②,点P与点B不重合时,直线PAPB的斜率之积为

a2=2,
∴此时椭圆C的方程为
∵|PA|的最大值仅在点P与点B重合时取到,即y0=﹣1时|PA|取到最大值,
,即y0=﹣1时|PA|取到最大值,满足点P与点B重合时|PA|取到最大值,
故条件②满足题意,此时椭圆C的方程为
选条件③,F1F2分别是椭圆的左、右焦点,∠F1PF2的最大值是120°,
∵∠F1PF2的最大值是120°,
∴∠F1AO=60°,a=|AF2|=2|AO|=2b=2,
∴此时椭圆C的方程为
∵|PA|的最大值仅在点P与点B重合时取到,即y0=﹣1时|PA|取到最大值,
显然,此时当时,|PA|取到最大值,不满足点P与点B重合时|PA|取到最大值,
故条件③不满足题意.
(2)由题意可知,l1l2的斜率存在,AP∥直线l1BP∥直线l2
不妨设直线l1的斜率为kk>0),
∵直线PAPB的斜率之积为
l2的斜率为
∴直线l1的方程为ykx,直线l2的方程
联立方程,得,∴
联立方程,得,∴
设直线l1的倾斜角为θ,直线l2的倾斜角为α,则∠MOx=θ,∠EOx=α,

∴∠EOM=α﹣θ,
∴四边形MENG的面积S=2(SEOM+SMOG)==2|OE|•|OM|sin(α﹣θ)=
即四边形MENG的面积是为定值
[点评]
本题考查了"",属于"压轴题",熟悉题型是解题的关键。
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本题解析属于发布者收集录入,如涉及版权请向平台申诉! !版权申诉
166682. (2024•高新一中•高二上二月) 已知O为坐标原点,椭圆Ω:ab>0)左、右焦点分别为F1F2,短轴长为2,过F1的直线m与椭圆Ω交于CD两点,△CDF2的周长为8.
(1)求Ω的方程;
(2)若直线l与Ω交于AB两点,且=0,求|AB|的最小值;
(3)已知点P是椭圆Ω上的动点,是否存在定圆Ox2+y2r2r>0),使得当过点P能作圆O的两条切线PMPN时(其中MN分别是两切线与C的另一交点),总满足|PM|=|PN|?若存在,求出圆O的半径r;若不存在,请说明理由.
共享时间:2024-12-27 难度:5 相似度:2

dygzsxyn

2023-05-19

高中数学 | | 解答题

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2020*西工大*期末
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