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166682. (2024•高新一中•高二上二月) 已知O为坐标原点,椭圆Ω:ab>0)左、右焦点分别为F1F2,短轴长为2,过F1的直线m与椭圆Ω交于CD两点,△CDF2的周长为8.
(1)求Ω的方程;
(2)若直线l与Ω交于AB两点,且=0,求|AB|的最小值;
(3)已知点P是椭圆Ω上的动点,是否存在定圆Ox2+y2r2r>0),使得当过点P能作圆O的两条切线PMPN时(其中MN分别是两切线与C的另一交点),总满足|PM|=|PN|?若存在,求出圆O的半径r;若不存在,请说明理由.
共享时间:2024-12-27 难度:5
[考点]
椭圆的焦点和焦距,
[答案]
(1)=1;
(2)
(3)
[解析]
解:(1)设椭圆的半焦距为cc>0),
由题意得4a=8,
所以a=2,
所以Ω的方程为=1.
(2)①若直线AB斜率不存在,设Ay1y1),
,所以
所以|AB|=2|y1|=
②若直线AB斜率存在,设AB方程为ykx+mAx1y1),Bx2y2),
联立
消去y整理得:(3+4k2x2+8kmx+4m2﹣12=0,
则Δ=64k2m2﹣4(3+4k2)(4m2﹣12)=48(4k2m2+3),
由韦达定理得
所以
即7m2=12k2+12,
故|AB|=|x1x2|=|=
令 3+4k2tt≥3),则,16k2+9=4t﹣3,
所以|AB|=
因为,所以当时,|AB|min
综上,|AB|的最小值为

(3)如图,设PMPN与圆O的切点分别为EF
则|PE|=|PF|,又|PM|=|PN|,则|EM|=|FN|,
所以Rt△OME≌Rt△ONF
所以|OM|=|ON|,
MN中点Q,若OQ不重合,
OQMN,所以kOQkMN=﹣1,
又因为MN在椭圆Ω上,
由点差法可得kOQkMN,矛盾,
所以OQ重合,即MN关于原点对称,OPOM
Mx3y3),则N(﹣x3,﹣y3),
设过Px0y0)且斜率存在的直线为ynxx0)+y0
kPMkPN
由直线和圆相切,得r,即(r2n2+2x0y0n+(r2)=0,
所以kPMkPN,所以7r2=12,
所以r2
[点评]
本题考查了"",属于"压轴题",熟悉题型是解题的关键。
转载声明:
本题解析属于发布者收集录入,如涉及版权请向平台申诉! !版权申诉
168151. (2023•西工大附中•六模) 已知椭圆CAB分别为椭圆的上下顶点,点P为椭圆上异于点A的任一点,若|PA|的最大值仅在点P与点B重合时取到,在下列三个条件中能满足要求的条件有 _____.
条件①:过焦点且与长轴垂直的弦长为
条件②:点P与点B不重合时,直线PAPB的斜率之积为
条件③:F1F2分别是椭圆的左、右焦点,∠F1PF2的最大值是120°.
(1)选出所有满足要求的条件,说明理由并求出此时的椭圆方程;
(2)若过原点作与AP平行的直线l1,与BP平行的直线l2l1l2的斜率存在且分别与椭圆C交于MNEG四点,则四边形MENG的面积是否为定值?若为定值,求出该值;若非定值,求其取值范围.
共享时间:2023-05-19 难度:5 相似度:2

dygzsxyn

2024-12-27

高中数学 | 高二上 | 解答题

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2020*西工大*期末
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