设为奇函数且当时求的解析式求时函数的单调区间及值域

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167541. （2023•关山中学•高三上一月）设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝e^x﹣1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求x≥0时，函数f（﹣x²+2x+1）的单调区间及值域．

共享时间:2023-10-22 难度:2

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[考点]

复合函数的单调性，奇函数偶函数的性质，

[答案]

（1）

；
（2）递增区间为（﹣∞，1]，递减区间为[1，+∞），值域为（﹣1，e²﹣1]．

[解析]

解：（1）因为当x≥0时，f（x）＝e^x﹣1，
设x＜0，则﹣x＞0，可得f（﹣x）＝e^﹣x﹣1，
又因为f（x）为奇函数，可得f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣e^﹣x+1，
所以函数f（x）的解析式为

．
（2）由当x≥0时，f（x）＝e^x﹣1，则

，
令g（x）＝﹣x²+2x+1，可得f（﹣x²+2x+1）＝e^g^（x）﹣1，
又由y＝g（x）的图象对应的抛物线的开口向下，且对称轴为x＝1，
所以g（x）在（﹣∞，1]单调递增，在[1，+∞）单调递减，且g（x）_max＝g（1）＝2，
因为函数f（x）＝e^x﹣1为定义域R的递增函数，
根据复合函数的性质，可得f（﹣x²+2x+1）在（﹣∞，1]单调递增，在[1，+∞）单调递减，
所以