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4764. (2018•高新一中•模拟) 如图1,在四边形ABCD中,如果对角线ACBD相交并且相等,那么我们把这样的四边形称为等角线四边形.
(1)①在“平行四边形、矩形、菱形”中,    一定是等角线四边形(填写图形名称);
②若MNPQ分别是等角线四边形ABCD四边ABBCCDDA的中点,当对角线ACBD还要满足     时,四边形MNPQ是正方形;
(2)如图2,已知△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,D为平面内一点,若四边形ABCD是等角线四边形,且ADBD,求四边形ABCD的面积;
(3)如图3,已知△ABC中,∠ABC=120°,ABBC=4,点E是以C为圆心,1为半径的圆上的动点,D为平面内一点,若四边形ABED是等角线四边形,求出四边形ABED面积的最大值,并说明理由.
共享时间:2018-06-27 难度:5
[考点]
中位线定理,正方形的判定与性质,中点四边形问题,圆的综合题,圆的最值问题,
[答案]
答案详见解析
[解析]
解:(1)①在“平行四边形、矩形、菱形”中,
∵矩形的对角线相等,
∴矩形一定是等角线四边形,
故答案为矩形.
②当ACBD时,四边形MNPQ是正方形.
理由:如图1中,

MNPQ分别是等角线四边形ABCD四边ABBCCDDA的中点,
PQMNACPNQMBDPQACMQBD
ACBD
MNNPPQQM
∴四边形MNPQ是菱形,
∵∠1=∠2,∠2=∠3,∠1=90°,
∴∠3=90°,
∴四边形NMPQ是正方形.
故答案为ACBD
(2)①如图2中,作DEABE

在Rt△ABC中,∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3,
AC=5,
ADBDDEAB
AEBE=2,
∵四边形ABCD是等角线四边形,
BDACAD=5,
DE
S四边形ABCDSADE+S梯形DEBC
AEDE+•(DE+BC)•BE
×2×+(3+)×2=3+2
②如图3中,设AEBD相交于点Q,连接CE

DHAEHBGAEG.则DHDQBGBQ
∵四边形ABED是等角线四边形,
AEBD
S四边形ABEDSABE+SADEAEDH+AEBGAE•(GB+DH)≤AE•(BQ+QD),
S四边形ABEDAEBD
∴当GH重合时,即BDAE时,等号成立,
AEBD
S四边形ABEDAE2
即线段AE最大时,四边形ABED的面积最大,
∵∠ABC=120°,ABBC=4,
AC=4
AEAC+CE
AE≤4+1,
AE的最大值为4+1,
∴当ACE共线时,取等号,
∴四边形ABED的面积的最大值为×(4+1)2+4
[点评]
本题考查了"正方形的判定与性质   中点四边形问题   圆的综合题   中位线定理   圆的最值问题   ",属于"压轴题",熟悉题型是解题的关键
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190544. (2025•西安三中•九上期末) 如图1,在扇形AOB中,点O为扇形所在圆的圆心,,∠AOB=120°,点C上一点,则△ABC面积的最大值为                
(2)如图2,在四边形ABCD中,ABAD,∠BAD=∠BCD=90°,连接AC.若AC=6,求四边形ABCD的面积;
(3)如图3,菱形ABCD是一个广场示意图,其中菱形边长AB为120米,∠A=60°,市政部门准备在这块菱形广场中修建一个四边形景观区DEBF,这块四边形区域需要满足BEBF,∠EBF=60°,∠EDF=75°,则这块四边形区域DEBF的面积是否存在最小值?若存在,请计算出面积的最小值及此时线段BF的长,若不存在,请说明理由.(结果保留根号)

 
共享时间:2025-02-07 难度:1 相似度:1.2
189968. (2025•新城区•九上期末) 【问题探究】
(1)如图1,△ABC内接于⊙OABBC,点D为劣弧上任意一点(点D不与点AC重合),连接ADBDCD,点D在运动的过程中始终有BDAD+DC,求∠ABC的度数;
【问题解决】
(2)如图2是一块半径为2米的圆形废旧铁皮,工人李叔叔计划从该铁皮上裁剪出一块四边形ABCD进行再利用,根据李叔叔的规划要求,点ABCD均为⊙O上的点,ABBCBDAD+DC,请问该四边形ABCD的周长是否存在最大值?若存在,求出四边形ABCD周长的最大值;若不存在,请说明理由.
共享时间:2025-02-11 难度:1 相似度:1.2
175956. (2024•交大附中•九上二月) (1)如图1,在扇形AOB中,点O为扇形所在圆的圆心,,∠AOB=120°,点C上一点,则△ABC面积的最大值为                
(2)如图2,在四边形ABCD中,ABAD,∠BAD=∠BCD=90°,连接AC.若AC=6,求四边形ABCD的面积;
(3)如图3,菱形ABCD是一个广场示意图,其中菱形边长AB为120米,∠A=60°,市政部门准备在这块菱形广场中修建一个四边形景观区DEBF,这块四边形区域需要满足BEBF,∠EBF=60°,∠EDF=75°,则这块四边形区域DEBF的面积是否存在最小值?若存在,请计算出面积的最小值及此时线段BF的长,若不存在,请说明理由.(结果保留根号)

 
共享时间:2024-12-24 难度:1 相似度:1.2
181108. (2024•爱知中学•九下一月) (1)如图①,点P为⊙O上一点,OAlPHl,垂足分别为点A与点H,若OA=5,OP=3,则PH的最大值为     
(2)如图②,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D是边AC上一点,且CD=2,点E是边BC上一点,将△CDE沿DE折叠,则点C落在F处,连接BF,求△BEF周长的最小值;
(3)如图③,是某花园的设计示意图,已知AB=60m,∠ABC=45°,ADCD,∠ADC=90°,弧ABC为⊙O上的一段优弧,点E为弧BC上的一点,过点E与点O铺设一条观赏小路EF,过点A铺设一条与之垂直的观赏小路AF,垂足为F,现计划在△FCD内种植牡丹花,已知牡丹花每平米的成本费为500元,则种植牡丹花所需费用至少为多少元?

共享时间:2024-04-24 难度:1 相似度:1.2
196948. (2024•交大附中•九上期末) 【问题提出】
(1)如图1,在线段AB的上方画出一点C,使得∠ACB=60°.
【问题探究】
(2)如图2,在矩形ABCD中,AD=6.点P是圆心角为120°的圆弧AD上的一点,点EBC边上,且BE=1.连接EP,求EP的最大值.
【问题解决】
(3)如图3,四边形ABCD是一个仓库的平面图,设计者想在DC边上的点E处安装一个监测仪,以监测门口AB处人员进出情况,此时∠AEB=45°.在四边形ABCD中,ADBC,∠ABC=90°,∠BCD=60°,CE=2DE=24米.求此时监测仪E到大门AB的水平距离.
共享时间:2024-02-20 难度:1 相似度:1.2
189713. (2025•师大附中•九上期末) 德优题库如图,AB是⊙O的直径,BE与⊙O相切于点B,点D是⊙O上一点,连接ED并延长交BA的延长线于点P.连接BD、EO相交于点G,延长EO交⊙O于点F.若EO平分∠DEB,且EG⊥BD.
(1)求证:EP是⊙O的切线;
(2)若AP=3,PD=6,求OA及EF的长.
共享时间:2025-02-15 难度:1 相似度:1.2
195956. (2025•临潼区•九上期末) 问题提出
(1)如图1,在等边三角形ABC中,已知AB=6,则BC边上的高为        
问题探究
(2)如图2,在△OAB中,已知OA=OB=5,AB=6,⊙O半径为1,P为⊙O上一动点,Q为线段AB上一动点.求PQ的最小值;
问题解决
(3)如图3,某游乐园中有一块菱形场地ABCD,现要在菱形空地内确定一点F,在点F处立一跟电杆,以便工作人员拉设四根装饰用的彩色灯带AF,BF,EF和PF,已知E是AB边的中点,CD边有一条用来供电的电线,电线长度足够,可视为一条直线,P为直线CD上任意一点.随着点F和点P位置的移动,AF,BF,EF和PF四条彩色灯带的长度也随之变化.为了更好保证最佳的观赏效果,要求∠AFB=90°且PF⊥EF.已知菱形场地ABCD中,∠ABC=60°,AB=8米,请问灯带PF的长度是否存在最小值?若存在,求出PF的最小值;若不存在,说明理由.
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共享时间:2025-02-25 难度:1 相似度:1.2
195801. (2025•阎良区•九上期末) 【问题提出】
(1)如图1,在扇形MAB中,点M为扇形所在圆的圆心,点P上一动点,连接ABMPABMP相交于点Q,若BM=9,求PQ的最大值;【问题解决】
(2)如图2,某公园有一圆形水池⊙OABAD是水池上的两座长度相等的小桥,且∠BAD=60°,现规划人员计划再修建两座小桥BCCD,桥的入口C在水池边上(即点C在⊙O上),为使游客观赏效果最佳,要求四座桥围成的四边形ABCD面积最大,已知ABAD=60m,修建小桥的成本为100元/m,当四边形ABCD的面积最大时,求修建BCCD两座小桥的总成本.
共享时间:2025-02-24 难度:1 相似度:1.2
192203. (2023•高新三中•九上二月) 问题提出
(1)如图①,⊙O的半径为4,圆心O到直线l的距离为6,则圆上一动点P到直线l的距离的最大值为        ,最小值为      
问题探究
(2)如图②,已知ABBC,∠ABC=∠ADC=90°,若,求AD的长.
问题解决
(3)如图③,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=2,BC=4,EBC的中点,∠C=45°且CDBC.在四边形内部存在一点P使得,连接BP,将BP绕点B逆时针旋转90°至BF,连接AF,问是否存在F使得△CDF的面积最大?若存在,请求出△CDF面积的最大值;若不存在,请说明理由.
共享时间:2023-12-17 难度:1 相似度:1.2
189740. (2025•师大附中•八上期末) 问题提出
学习了三角形的角平分线的定义之后,我们把三角形的三条内角平分线的交点叫做三角形的内心.
(1)如图①,已知△ABC的周长和面积都为30,点O是△ABC的内心,则点O到AB边的距离为       
问题探究
(2)如图②,在四边形ABCD中,AB=4,∠DAB=∠ABC=90°,以AB为边作等边△ABE,使得点E在边CD上且∠BEC=30°,点F是等边△ABE的内心,求点F到CD边的距离.
问题解决
(3)如图③所示的四边形ABCD为某公园的平面图,市政府计划在公园内部修建一个三角形广场即△ABE,点E到AB的距离为60m,在广场△ABE的边上装满彩灯,并在△ABE的内心F处修建喷泉供人们观赏,现需从喷泉F处到CD边上修建一条最短的地下水渠以便抽水.已知AB=2BC=80m,AD=100m,∠DAB=∠ABC=90°,据了解,彩灯每米30元,修建水渠每米60元,当彩灯费用最少时,装满彩灯和修建水渠的总花费是       .(结果保留根号)
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共享时间:2025-03-01 难度:1 相似度:1.2
189840. (2025•高新一中•九上期末) 如图,在等腰直角△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,P是线段AB上一个动点,连结CP,以CP为斜边构造等腰直角△CDP,M为CP的中点,连结AD,MB.
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【特值尝试】
(1)若AP=4,则BM=        ,AD=        
(2)设AP=x,△ADP的面积为y.
【周密思考】①求y关于x的函数表达式.
【问题解决】②记D关于直线AC的对称点为D′,当D′在△APC的外接圆上时,求此时△ADP的面积.
共享时间:2025-02-22 难度:1 相似度:1.2
27756. (2023•航天中学•九上二月) 【直接运用】(1)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,以BC为直径的半圆交AB于D,P是弧CD上的一个动点,连接AP,则AP的最小值是        ;【构造运用】(2)如图2,在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=6,∠A=120°,点F、点N分别为CD、AB的中点,点E在边AD上运动,将△EDF沿EF折叠,使得点D落在D′处,连接BD′,点M为BD′中点,求MN的最小值;
【灵活运用】(3)如图3,已知正方形ABCD的边长为6,点M、N分别从点B、C同时出发,以相同的速度沿边BC、CD方向向终点C和D运动,连接AM和BN交于点P,则点P到点C的最短距离,并说明理由.
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共享时间:2023-10-10 难度:1 相似度:1.2
190520. (2025•碑林区•九上期末) 【问题提出】
(1)如图1,在△ABC中,点DE分别在边ABAC上,连接DEDEBCAD=2DB.若DE=4,则BC的长为      
【问题深入】
(2)如图2,在扇形OAB中,C上的一动点,连接ACBC,∠AOB=120°,OA=2,求四边形OACB的面积的最大值.
【问题解决】
(3)为进一步促进西安市文化和旅游高质量发展,推动全市文明旅游工作创建,某地拟建一个四边形休闲广场ABCD,其大致示意图如图3所示,ADBCBC=120米,在点E处设立一个自动售货机,EBC的中点,连接AEBDAEBD交于点M,连接CM,沿CM修建一条石子小路(宽度不计),将△MBE和△MDA进行绿化.根据设计要求,BM=2DM,tan∠CME.为倡导绿色新风尚,现要使绿化的面积尽可能的大,请问△MBE和△MDA的面积之和是否存在最大值?若存在,请求出△MBE和△MDA的面积之和的最大值;若不存在,请说明理由.

 
共享时间:2025-02-22 难度:1 相似度:1.2
190444. (2025•铁一中学•九上期末) 问题提出
(1)如图1,在直角△ABC中,∠A=30°,⊙I是△ABC的内切圆,若⊙I的半径是1,则△ABC的斜边长为        
问题解决
(2)小方的爸爸是一位翡翠设计师,一位顾客想将一块如图2所示的四边形原石BDFE进行切割设计.顾客首先需要切割出一个玉镯,再根据剩料进行其他设计.由于该原石成色最好的部分在∠B附近区域,所以玉镯要尽可能贴着BE边和BD边,观察到EF和DF的边缘都有杂质和细小裂隙,因此切割线不能经过DF边和EF边.根据原石情况和切割工艺,设计师需要先切割出能覆盖玉镯的三角形,再进行后期精细化打磨.为了最大限度地利用该石材,切割出的△ABC(点A在BD上,点C在BE上),应使得AC尽可能短,同时△ABC的周长和面积尽可能的小.经过测量,∠B=60°,BE=156mm,BD=175mm.根据顾客的需求,手镯的内圈直径为56mm,外圈直径为70mm,即小圆⊙O的直径为56mm,大圆⊙O的直径为70mm.
请你通过计算,帮助小方爸爸说明是否存在BD和BE上的点A和点C使得覆盖大圆⊙O的△ABC周长取得最小时,面积也取得最小值?若存在,请求出△ABC的周长及面积;若不存在,请说明理由.
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共享时间:2025-02-25 难度:1 相似度:1.2
190299. (2025•高新区•九上期末) 德优题库问题提出:
(1)如图1,在△ABO中,OA=OB=4,∠AOB=120°,⊙O半径为1,点P是⊙O上的动点.则P到AB的最小值为        
问题探究:
(2)如图2,在正方形ABCD中,找出所有的点P,使得∠BPC=60°;
(3)问题解决:
如图3,有一个矩形水池ABCD,已知BC=30m,AB=20m.设计者想把水池分为四部分,分别是三角形AED,三角形CED,三角形BEC,三角形AEB.满足BF⊥AG,BF=2EF,点E在AG上,G为BC上的任意一点.若三角形CED区域养鱼,其他区域养虾.已知养鱼每平方米1000元,养虾每平方米800元.请问花费的最少费用是多少?
共享时间:2025-02-02 难度:1 相似度:1.2

gxyz515

2018-06-27

初中数学 | | 解答题

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