如图在平面直角坐标系中已知抛物线经过点和点将抛物线沿轴向右平移个单位长度得到抛物线求抛物线与的表达式若点在抛物线上且在轴下方过点作轴于点连接若与相似请求出点的坐标

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27863. （2023•爱知中学•九上期末） $德优题库$ 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线L₁：y=ax²-2x+c经过点A（-1，0）和点C（0，-3），将抛物线L₁沿x轴向右平移1个单位长度得到抛物线L₂．
（1）求抛物线L₁与L₂的表达式；
（2）若点P在抛物线L₂上，且在x轴下方，过点P作PD⊥x轴于点D，连接PO，若△AOC与△POD相似，请求出点P的坐标．

共享时间:2024-01-30 难度:1

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[考点]

[答案]

（1）抛物线L1的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；抛物线L2的表达式为y＝x2﹣4x；（2）或（1，﹣3）

[解析]

解：（1）∵抛物线L₁：y＝ax²﹣2x+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，﹣3），
∴

，
解得：

，
∴抛物线L₁的表达式为：y＝x²﹣2x﹣3，
∵y＝x²﹣2x﹣3＝（x﹣1）²﹣4，将抛物线L₁沿x轴向右平移1个单位长度得到抛物线L₂，
∴抛物线L₂的表达式为：y＝（x﹣2）²﹣4＝x²﹣4x+4﹣4＝x²﹣4x，即y＝x²﹣4x；
（2）∵PD⊥x轴于点D，
∴∠PDO＝∠AOC＝90°，
∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴OA＝1，OC＝3，
在y＝x²﹣4x中，令y＝0，x²﹣4x＝0，
解得：x₁＝0，x₂＝4，
∴抛物线L₂与x轴的交点为（0，0），（4，0），
∵点P在抛物线L₂上，且在x轴下方，
∴设点P（m，m²﹣4m），0＜m＜4，则D（m，0），
∴OD＝m，DP＝4m﹣m²，
如图1，当△AOC∽PDO时，则