如图证明命题是平面内的一条直线是外的一条直线不垂直于是直线在上的投影若则为真写出上述命题的逆命题并判断其真假不需要证明

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265454. （2012•陕西省•真题） $德优题库$ （1）如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥b,则a⊥c”为真．
（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）

共享时间:2012-06-19 难度:3

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[考点]

四种命题，空间向量语言表述线线的垂直、平行关系，空间向量语言表述线面的垂直、平行关系，

[校正]

[答案]

见试题解答内容

[解析]

证明：（1）证法一：如图，过直线b上任一点作平面α的垂线n，设直线a，b，c，n对应的方向向量分别是

，则

共面，
根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得

，
则

＝

因为a⊥b，所以

，
又因为a⊂α，n⊥α，
所以

，
故

，从而a⊥c
证法二
如图，记c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P做PO⊥π，垂足为O，则O∈c，
∵PO⊥π，a⊂π，
∴直线PO⊥a，
又a⊥b，b⊂平面PAO，PO∩b＝P，
∴a⊥平面PAO，
又c⊂平面PAO，
∴a⊥c
（2）逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b，
逆命题为真命题

[点评]

本题考查了"四种命题，空间向量语言表述线线的垂直、平行关系，空间向量语言表述线面的垂直、平行关系，"，属于"典型题"，熟悉题型是解题的关键。

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灰色代表去掉的考点，绿色代表未变动的考点，红色代表新增的考点

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2012-06-19

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更新:2012-06-19 06:57浏览量:15

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