如图甲中则的面积为如图乙中点是边的中点求的取值范围如图丙和中点为的中点点在线段的延长线上请判断线段与线段的关系说明理由提示等角对等边

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244848. （2023•西工大附中•七下期末）（1）如图甲，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，则△ABC的面积为；
（2）如图乙，△ABC中，AB=7，AC=4，点D是边BC的中点，求AD的取值范围；
（3）如图丙，△ABC和△ADE中，AD=DE，AB=BC，∠EAD=∠AED=45°，∠BAC=∠BCA=45°，点M为EC的中点，点E在线段CA的延长线上．请判断线段DM与线段BM的关系，说明理由．（提示：等角对等边）
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[考点]

三角形综合题，

[校正]

[答案]

（1）12；

（2）

＜AD＜

；

（3）BM⊥DM且BM＝DM．

[解析]

解：（1）如图甲，过点A作AH⊥BC于点H，

∵AB＝AC，AH⊥BC，BC＝6，
∴BH＝CH＝

BC＝3，
∵AB＝5，AH⊥BC，
∴AH＝

＝

＝4，
∴△ABC的面积＝

BC•AH＝

×6×4＝12，
故答案为：12；
（2）如图乙，延长AD到点M，使AD＝DM，连接BM，

∵点D是边BC的中点，
∴BD＝CD，
又DM＝AD，∠BDM＝∠ADC，
∴△BDM≌△CDA（SAS），
∴BM＝AC＝4，
在△ABM中，AB＝7，AB﹣BM＜AM＜AB+BM，
∴3＜AM＜11，
∴

＜AD＜

；
（3）BM⊥DM且BM＝DM，理由如下：
如图丙，延长DM到点N，使MN＝DM，连接CN，BN，

∵∠DAE＝∠BAC＝45°，点E在线段CA的延长线上，
∴∠DAB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
由（2）同理得，△DME≌△NMC（SAS），
∴DE＝CN，∠MCN＝∠DEM＝45°，DM＝MN，
∴∠BCN＝∠BCA+∠MCN＝90°，
∵AB＝BC，∠DAB＝∠BCN＝90°，AD＝DE＝CN，
∴△BAD≌△BCN（SAS），
∴BD＝BN，∠DBA＝∠NBC，
∵DM＝MN，
∴BM⊥DN，∠DBN＝∠DBA+∠ABN＝∠NBC+∠ABN＝∠ABC＝90°，
∴BM＝

DN＝DM，
综上，BM⊥DM且BM＝DM．

[点评]

本题考查了"三角形综合题，"，属于"基础题"，熟悉题型是解题的关键。

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考点说明

灰色代表去掉的考点，绿色代表未变动的考点，红色代表新增的考点

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

190324. （2025•高陵区•八上期末）定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三角形”．例如：三个内角分别为100°，60°，20°的三角形是“优美三角形”．
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【概念理解】
（1）如图1，∠MON=60°，点A在边OM上，过点A作AB⊥OM，交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与点O，B重合）．
①△AOB “优美三角形”（填“是”或“不是”）．
②若∠ACB=80°，求证：△AOC是“优美三角形”．
【应用拓展】
（2）如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，∠BDC＞90°，作∠ADC的平分线，交AC于点E，在DC上取一点F，使∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B．若△BCD是“优美三角形”，求∠B的度数．

共享时间:2025-02-07 难度:1 相似度:2

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196335. （2024•高新一中•七下期末）（1）【特例感知】如图1，∠BAD=90°，AB=AD，BC⊥AC于点C，DE⊥AC于点E．A、C、E三点在同一直线上，BC=3，ED=4，则CE= ．
（2）【问题探究】如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E是BC边上两点，连接AD，以AD为腰作等腰直角△ADF，∠ADF=90°，作FE⊥BC于点E，FE=CE，若BD=2，CE=5，求△CDF的面积．
（3）【拓展应用】如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=13，点G在BC边上，满足∠GAC=3∠BAG，点H在线段AC上，AH=4，点E是直线AC上的一个动点，连接GE，过点G作GF⊥GE，且GE=GF．当点P是线段AG上的一个动点时，连接PH、PF，是否存在PH+PF的最小值？如果存在，请求出PH+PF的最小值；如果不存在，请说明理由．
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198088. （2023•师大附中•九上期中）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，D，E分别为AB，BC边上一点，连接DE，且BD＝DE，将△ABC绕点B在平面内旋转．
（1）观察猜想
若α＝60°，将△ABC绕点B旋转到如图2所示的位置，则

的值为　　．
（2）类比探究
若α＝90°，将△ABC绕点B旋转到如图3所示的位置，求

的值．
（3）拓展应用
若α＝90°，D为AB的中点，AB＝6，当AD⊥BE中，请求出CE的值．

共享时间:2023-11-30 难度:1 相似度:2

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198016. （2024•交大附中•八上期中）【方法归纳】同学们，我们在学完勾股定理的证明后发现：运用“同一图形的面积的不同表示方式”可以用来探究线段之间的关系．今天，我们来尝试用这种方法来解决以下问题．
（1）【小试牛刀】如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，BD⊥AC于点D，则BD= ．
（2）【学有所用】如图2，△ABC中，AB=AC=8，S_△ABC=20，M是底边BC上的任意一点，且M到AB、AC的距离分别为h₁、h₂．请问：h₁+h₂是定值吗？如果是，求出这个值；如果不是，说明理由．
（3）【拓展升华】在平面直角坐标系中，三个点A（-6，0），B（4，0），C（0，8），M为直线BC上一点，且到AC的距离为3．求点M的坐标．
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197547. （2024•高新陆港•九上期中） $德优题库$ 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α后得到△AED，点B，C的对应点分别是E，D．
（1）如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；
（2）如图2，若α=60°，点F是边AC的中点，试说明四边形BFDE是平行四边形；
（3）若BC=4，连接CE，CD．在旋转的过程中，△CDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出其面积最大值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2024-11-22 难度:1 相似度:2

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197399. （2024•高新三中•八下期中）根据材料回答下列小题
（1）【操作发现】如图1，将△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE，连接BD，则△ABD是　　三角形
（2）【类比探究】如图2，在等边三角形ABC内任取一点P，连接PA，PB，PC，求证：以PA，PB，PC
的长为三边必能组成三角形．
（3）【解决问题】如图3，在边长为

的等边三角形ABC内有一点P，∠APC＝90°，∠BPC＝120°求△APC的面积．
（4）【拓展应用]如图4是M，N，G三个村子位置的平面图经测量MN＝6km，∠M＝75°，MG＝4

km，区管委会想在△MNG内建污水处理厂，为了快捷、环保和节约成本，要使得线段OM、ON、OG之和最短，试求OM+ON+OG的最小值（污水处理厂与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计了．

共享时间:2024-05-13 难度:1 相似度:2

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196900. （2024•交大附中•七下期末）小明同学在学习完全等三角形后，发现可以通过添加辅助线构造全等三角形来解决问题．
（1）如图（1），AD是△ABC的中线，且AB＞AC，延长AD至点E，使ED=AD，连接BE，可证得△ADC≌△EDB，其中判定两个三角形全等的依据为．
（2）如图（2），在△ABC中，点E在BC上，且DE=DC，过E作EF∥AB，且EF=AC．求证：AD平分∠BAC．
（3）如图（3），在△ABC中，∠A=90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．若BE=1.8，CF=2.4，求EF的长度． $德优题库$

共享时间:2024-07-09 难度:1 相似度:2

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196459. （2024•爱知中学•七下期末）问题发现：学习三角形全等的知识时，小明发现重合两个等腰直角三角形的顶点会产生一对新的全等三角形．
如图1，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在边BC上，连接AD，以AD为边作△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE，请连接图中标有字母的点，补全图形，直接写出一对全等三角形和∠BCE的度数．
问题探究：小明想，如果将图中的等腰直角三角形换成等边三角形，那么这组全等三角形是否还存在？
如图2，△ABC和△ADE是等边三角形，点B，D，E在同一直线．
（1）证明：△ABD≌△ACE．
（2）探索线段BE，AE，CE三者间的数量关系，写出结论并说明理由．
问题拓展：经过上面的探究，小明联想到几天前一道不会的题，请你帮小明再想一想，是否有新的发现．
如图3，边长为a的等边△ABC中，D是AC中点，BD=b,E是线段BD上一动点，连接AE，在AE右侧作等边△AEF，连接FD，求△AFD周长的最小值（用含a,b的代数式表示），并直接写出取最小值时∠AFD的度数．
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共享时间:2024-07-21 难度:1 相似度:2

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196259. （2024•高新一中•七下期末）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=6，AC=10，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．根据SAS可以判定△ADC≌△EDB，得出AC=BE．这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围是．
【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的一点，AE是△ABD的中线，CD=AB，∠BDA=∠BAD，试说明：AC=2AE；
【问题拓展】（3）如图3，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE=AB，AF=AC，判断线段EF与AD的关系，并说明理由．
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198437. （2022•爱知中学•八上期中）（1）如图①，△ABC与△ADE均是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，线段BD、CE交于点F．则∠DFE＝　　．
（2）如图②，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，延长BC至点D，使

，以AD为直角边在AD的左侧作等腰直角△ADE，使得AD＝AE＝6，∠DAE＝90°，连接CE，求线段CE的长．
（3）如图③，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，在AC的左侧作△ACD，使得AD＝6，∠ADC＝45°，

，连接BD，求线段BD的长．

共享时间:2022-11-23 难度:1 相似度:2

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196185. （2024•师大附中•九上期末）（1）问题探究：
如图1，在△ABC中，BC=4，∠BAC=45°，则△ABC的外接圆半径为．
（2）问题解决：
如图2，△ABC为一个快递转运中心，∠ABC=90°，AB=BC=30，半径为5的半圆⊙E在△ABC的内部或边上，其圆心E在边BC上．现需在△ABC内建造一个快递堆放平台点P，使∠APC=135°，在半圆⊙E上建造一个快递堆放平台点F，在边AB上建一个快递结算中心Q，为节省转运时间，请求出PQ+FQ的最小值，及取最小值时点P到BC的距离．
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共享时间:2024-02-02 难度:1 相似度:2

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196134. （2024•师大附中•七下期末）【问题背景】
如图1，在等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上任意一点，连接AD、BE，AD与BE相交于点O，且BD=CE．
请直接写出线段AD与BE之间的数量关系：       ；∠AOE=       ．
【推广探究】
如图2，在等边△ABC中，P、M分别为边AB、AC上的点，且AM=BP，过点P作PQ∥BE交AC于点Q，过点M作MN∥AD交BC于点N，PQ与MN交于点F．
（1）∠MFQ=       ；
（2）求证：PQ=MN．
【深入探究】
如图3，在“推广探究”的条件下，令四边形APFM的周长为C₁，四边形CNFQ的周长为C₂，MF=a,FQ=b,FN=c,则C₁-C₂=       （请用含有a、b的代数式表示）．
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共享时间:2024-07-12 难度:1 相似度:2

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195904. （2025•曲江一中•八上期末）如图，△ABC是边长为12cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，点P沿射线AB运动，点Q沿折线BC-CA运动，且它们的速度都为1cm/s.当点Q到达点A时，点P随之停止运动．连接PQ，PC，设点P的运动时间为t（s）．
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（1）当点Q在线段BC上运动时，BQ的长为（cm），BP的长为（cm）（用含t的式子表示）．
（2）当PQ与△ABC的一条边垂直时，求t的值．
（3）当点Q从点C运动到点A的过程中，连接PQ，直接写出PQ中点O经过的路径长．

共享时间:2025-02-23 难度:1 相似度:2

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192418. （2023•西工大附中•八上一月）问题背景
如图①，在四边形ADBC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，探究线段AC、BC、CD之间的数量关系．
小明同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D逆时针旋转90°到△AED处，点B、C分别落在点A、E处（如图②），易证点C、A、E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以

，从而得出结论：

．
小花同学探究问题的思路是：过D作DE⊥DC，且DE＝DC．连接AE，证△BDC≌△ADE，易证C、A、E三点共线，

，从而得出结论：

．
问题提出
（1）在图①中，若AC＝2，BC＝4，则CD＝　　；
问题探究
（2）如图③，在等边△ABC中，点D，E在边BC上，且BD＝CE＝6，连接AD，AE，若∠DAE＝30°，求△ABC的边长．（提示：直角三角形30°角所对直角边等于斜边的一半）
问题解决：
（3）如图④，在等腰Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC＝4

，AD⊥BC，点E，F在边BC上，且满足EF²＝BE²+FC²，在射线AE上取一点P使得AP＝AF，求DP最小值．

共享时间:2023-10-22 难度:1 相似度:2

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192395. （2024•西工大附中•八下二月）问题探究
（1）如图①，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，

，CD＝4，E为AD中点，连接BE，求BE的最大值；
问题解决
（2）如图②，某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花园ABCD，其中BC＝40米，AD＝CD，AD⊥CD，AB∥CD，由于受地理位置的影响，∠ABC＜90°．根据要求，现计划给该花园修建条笔直的绿色长廊，且绿色长廊的入口O定为BC的中点，出口定为点D，为了尽可能地提高观赏体验，要求绿色长廊OD最长，试求绿色长廊OD最长为多少米？

共享时间:2024-06-23 难度:1 相似度:2

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csyn@dyw.com

2023-07-09

初中数学 | 七年级下 | 解答题

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2022-2023学年陕西省西安市碑林区西北工大附中七年级（下）期末数学试卷

更新:2023-07-09 09:03浏览量:46

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