已知函数当时求函数的最小值是否存在实数使得中所得函数的定义域为值域为若存在求出的值若不存在请说明理由

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237744. （2018•高新一中•高一上期中）．已知函数f（x）＝（

）^x，
（1）当x∈[﹣1，1]时，求函数y＝[f（x）]²﹣2af（x）+3的最小值g（a）；
（2）是否存在实数m＞n＞3，使得（1）中所得函数的定义域为[n，m]，值域为[n²，m²]？若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2018-11-14 难度:1

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[考点]

指数函数的图象，

[答案]

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[解析]

解：（1）∵x∈[﹣1，1]，∴f（x）＝（

）^x∈[

，3]，…（1分）
y＝[f（x）]²﹣2af（x）+3＝[（

）^x]²﹣2a（

）^x+3
＝[（

）^x﹣a]²+3﹣a²，…（3分）
由一元二次函数的性质分三种情况：
当a＜

时，y_min＝g（a）＝

﹣

；…（5分）
当

≤a≤3时，y_min＝g（a）＝3﹣a²；…（6分）
当a＞3时，y_min＝g（a）＝12﹣6a…（7分）
∴g（a）＝

…（8分）
（2）假设存在满足题意的m、n，
∵m＞n＞3，且g（x）＝12﹣6x在（3，+∞）上是减函数，
∴g（x）＜0，
又∵g（x）的定义域为[n，m]，值域为[n²，m²]，
∴m²＞9，n²＞9，与g（x）＜0矛盾，
故不存在实数m＞n＞3，使得（1）中所得函数的定义域为[n，m]，值域为[n²，m²]．

[点评]

本题考查了"指数函数的图象，"，属于"基础题"，熟悉题型是解题的关键。

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171123. （2024•西电附中•高一上期中）已知指数函数f（x）＝a^x．
（1）若f（x）在[﹣1，3]上的最大值为8，求a的值；
（2）当a＞1时，若f（x）≤30﹣x对x∈[﹣1，3]恒成立，求a的取值范围．

共享时间:2024-11-21 难度:2 相似度:1.5

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dygzsxyn

2018-11-14

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2018-2019学年陕西省西安市高新一中高一（上）期中数学试卷

更新:2018-11-14 11:36浏览量:10

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