设等差数列的前项和为数列满足对每个成等比数列求数列的通项公式记证明

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237449. （2021•高新一中•高一下期中）设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₃＝4，a₄＝S₃．数列{b_n}满足：对每个n∈N^*，S_n+b_n，S_n₊₁+b_n，S_n₊₂+b_n成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记c_n＝

，n∈N^*，证明：c₁+c₂+…+c_n＜2

，n∈N^*．

共享时间:2021-05-11 难度:1

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[考点]

数列与函数的综合，

[答案]

见试题解答内容

[解析]

解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，
由题意得

，
解得a₁＝0，d＝2，
∴a_n＝2n﹣2，n∈N^*．
∴S_n＝n²﹣n，n∈N^*，
∵数列{b_n}满足：对每个n∈N^*，S_n+b_n，S_n₊₁+b_n，S_n₊₂+b_n成等比数列．
∴（S_n₊₁+b_n）²＝（S_n+b_n）（S_n₊₂+b_n），
解得

，
解得b_n＝n²+n，n∈N^*．
（Ⅱ）证明：

＝

＝

，n∈N^*，
用数学归纳法证明：
①当n＝1时，c₁＝0＜2，不等式成立；
②假设n＝k，（k∈N^*）时不等式成立，即c₁+c₂+…+c_k＜2

，
则当n＝k+1时，
c₁+c₂+…+c_k+c_k₊₁＜2

+

＜2

＜2

+

＝2

＝2

，
即n＝k+1时，不等式也成立．
由①②得c₁+c₂+…+c_n＜2

，n∈N^*．

[点评]

本题考查了"数列与函数的综合，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

231727. （2014•师大附中•八模）已知{a_n}是正数组成的数列，a₁＝1，且点（

，a_n₊₁）（n∈N^*）在函数y＝x²+1的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b₁＝1，b_n₊₁＝b_n+

，求证：b_n•b_n₊₂＜b_n₊₁²．

共享时间:2014-06-12 难度:2 相似度:1.5

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231750. （2014•师大附中•八模）已知{a_n}是正数组成的数列，a₁＝1，且点（

，a_n₊₁）（n∈N^*）在函数y＝x²+1的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b₁＝1，b_n₊₁＝b_n+

，求证：b_n•b_n₊₂＜b_n₊₁²．

共享时间:2014-06-13 难度:2 相似度:1.5

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236581. （2017•西工大附中•高一下期末）已知等比数列{a_n}的公比q＞1，且a₁+a₃＝20，a₂＝8．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设

，S_n是数列{b_n}的前n项和，对任意正整数n不等式

恒成立，求实数a的取值范围．

共享时间:2017-07-25 难度:2 相似度:1.5

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2021-05-11

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更新:2021-05-11 11:46浏览量:9