已知函数当时求证讨论关于的方程的实根的个数

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237188. （2021•高新一中•高二上期中）已知函数

．
（1）当m＝1时，求证：

；
（2）讨论关于x的方程f（x）＝m﹣lnx的实根的个数．

共享时间:2021-11-18 难度:1

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组卷白板

[考点]

求解方程根的存在性和分布，

[答案]

（1）证明见解答；

（2）方程f（x）＝m﹣lnx有3个实根．

[解析]

（1）证明：m＝1时，f（x）＝

，则f′（x）＝﹣

，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜

，令f′（x）＜0，解得：x＞

，
故f（x）在（0，

）递增，在（

，+∞）递减，
故f（x）≤f（

）＝

；
（2）解：由f（x）＝m﹣lnx，得lnx﹣

＝0，x＝1显然是该方程的根，
x≠1时，方程等价于m＝

，
令h（x）＝

，（x＞0，x≠1），
则h′（x）＝﹣

（4lnx﹣x²+

），
令φ（x）＝4lnx﹣x²+

，
则φ′（x）＝

﹣2x﹣

＝﹣

＜0，
∴x＞0时，φ（x）单调递减，
∴0＜x＜1时，φ（x）＞φ（1）＝0，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
x＞1时，φ（x）＜φ（1）＝0，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
x→+∞时，h（x）→+∞，x→0时，h（x）→+∞，x→1时，h（x）→1，
画出函数h（x）的图像，如图示：

结合图像得：m＞1时，方程m＝h（x）有2个实根，
m≤1时，方程m＝h（x）没有实根，
综上：m≤1时，方程f（x）＝m﹣lnx仅有1个实根，
m＞1时，方程f（x）＝m﹣lnx有3个实根．

[点评]

本题考查了"求解方程根的存在性和分布，"，属于"基础题"，熟悉题型是解题的关键。

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2021-11-18

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